Введение в математический анализ. Азизов Т.Я - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

3.5. Свойства вещественных чисел
Приведем в этом разделе основные свойства вещественных чисел и опе-
раций над ними. Некоторые из них напрямую вытекают из определений или
были доказаны выше, другие оставляем читателям для самостоятельного
рассмотрения. Здесь мы докажем лишь свойство IV
3
и некоторые важные
следствия из него, которые будут использованы ниже при рассмотрении
свойств модуля.
I.Операция сложения.
I
1
. α + β = β + α для любых α, β ∈ R.
I
2
. α + (β + γ) = (α + β) + γ для любых α, β, γ ∈ R.
I
3
. α + 0 = 0 + α = α для любого α ∈ R.
I
4
. α + (−α) = (−α) + α = 0 для любого α ∈ R.
II.Операция умножения.
II
1
. α β = βα для любых α, β ∈ R.
II
2
. α(βγ) = (αβ)γ для любых α, β, γ ∈ R.
II
3
. α · 1 = 1 · α = α для любого α ∈ R.
II
4
. α α
−1
= α
−1
α = 1 для любого α 6= 0.
III.Связь между операциями сложения и умножения.
(α + β)γ = αγ + βγ для любых α, β, γ ∈ R.
IV.Упорядоченность.
IV
1
. Для любых α, β, γ ∈ R выполнено одно и только одно соотношение:
α = β, α < β или α > β.
IV
2
. Если α < β и β < γ, то α < γ.
IV
3
. Если α < β, то α + γ < β + γ для любого γ ∈ R.
IV
4
. Если α < β и γ > 0, то αγ < βγ.
V. Непрерывность. Если A ⊂ R, B ⊂ R и a ≤ b для любых a ∈ A и
b ∈ B, то существует такое α ∈ R, что
a ≤ α ≤ b для любых a ∈ A, b ∈ B.
Доказательство свойства IV
3
. Пусть α, β, γ порождены сечениями A
1
|B
1
,
A
2
|B
2
, A
3
|B
3
, соответственно. По определению 3.32 сечения A
0
|B
0
, A
00
|B
00
, где
A
0
= {a
1
+ a
3
: a
1
∈ A
1
, a
3
∈ A
3
} ∪ {α
0
}, если α
0
∈ Q,
A
0
= {a
1
+ a
3
: a
1
∈ A
1
, a
3
∈ A
3
}, если α
0
/∈ Q,
B
0
= {b
1
+ b
3
: b
1
∈ B
1
, b
3
∈ B
3
},
A
00
= {a
2
+ a
3
: a
2
∈ A
2
, a
3
∈ A
3
} ∪ {α
00
}, если α
00
∈ Q,
A
00
= {a
2
+ a
3
: a
2
∈ A
2
, a
3
∈ A
3
}, если α
00
/∈ Q,
B
00
= {b
2
+ b
3
: b
2
∈ B
2
, b
3
∈ B
3
},
36
3.5.   Свойства вещественных чисел
    Приведем в этом разделе основные свойства вещественных чисел и опе-
раций над ними. Некоторые из них напрямую вытекают из определений или
были доказаны выше, другие оставляем читателям для самостоятельного
рассмотрения. Здесь мы докажем лишь свойство IV3 и некоторые важные
следствия из него, которые будут использованы ниже при рассмотрении
свойств модуля.
   I.Операция сложения.
   I1 . α + β = β + α для любых α, β ∈ R.
   I2 . α + (β + γ) = (α + β) + γ для любых α, β, γ ∈ R.
   I3 . α + 0 = 0 + α = α для любого α ∈ R.
   I4 . α + (−α) = (−α) + α = 0 для любого α ∈ R.
   II.Операция умножения.
   II1 . αβ = βα для любых α, β ∈ R.
   II2 . α(βγ) = (αβ)γ для любых α, β, γ ∈ R.
   II3 . α · 1 = 1 · α = α для любого α ∈ R.
   II4 . αα−1 = α−1 α = 1 для любого α �= 0.
   III.Связь между операциями сложения и умножения.
   (α + β)γ = αγ + βγ для любых α, β, γ ∈ R.
   IV.Упорядоченность.
   IV1 . Для любых α, β, γ ∈ R выполнено одно и только одно соотношение:
α = β, α < β или α > β.
   IV2 . Если α < β и β < γ, то α < γ.
   IV3 . Если α < β, то α + γ < β + γ для любого γ ∈ R.
   IV4 . Если α < β и γ > 0, то αγ < βγ.
   V. Непрерывность. Если A ⊂ R, B ⊂ R и a ≤ b для любых a ∈ A и
b ∈ B, то существует такое α ∈ R, что
                       a ≤ α ≤ b для любых a ∈ A, b ∈ B.
Доказательство свойства IV3 . Пусть α, β, γ порождены сечениями A1 |B1 ,
A2 |B2 , A3 |B3 , соответственно. По определению 3.32 сечения A� |B � , A�� |B �� , где
            A� = {a1 + a3 : a1 ∈ A1 , a3 ∈ A3 } ∪ {α� }, если α� ∈ Q,
                A� = {a1 + a3 : a1 ∈ A1 , a3 ∈ A3 }, если α� ∈
                                                             / Q,
                         B � = {b1 + b3 : b1 ∈ B1 , b3 ∈ B3 },
            A�� = {a2 + a3 : a2 ∈ A2 , a3 ∈ A3 } ∪ {α�� }, если α�� ∈ Q,
                A�� = {a2 + a3 : a2 ∈ A2 , a3 ∈ A3 }, если α�� ∈
                                                               / Q,
                        B �� = {b2 + b3 : b2 ∈ B2 , b3 ∈ B3 },

                                          36

Страницы