Введение в математический анализ. Азизов Т.Я - 34 стр.

Определение 3.38. Пусть α ∈ R. Наибольшее целое число, не превосходя-
щее α, называется целой частью числа α и обозначается [α]. Разность α−[α]
называется дробной частью числа α и обозначается {α}.
Определение 3.39. Для любого α ∈ R модулем или абсолютной величиной
α называется число |α|, которое определяется по правилу:
                              �
                                α, если α ≥ 0;
                        |α| =
                                −α, если α < 0.

Упражнение 6. Используя упражнение 4, показать, что | − α| = |α| для
любого α ∈ R.
   Операция нахождения суммы (разности) двух чисел называется сложе-
нием (вычитанием) этих чисел.
   Умножение и деление вещественных чисел. Операции умножения и де-
ления вещественных чисел определим подобно тому, как выше были опре-
делены операции сложения и вычитания. Некоторые утверждения в этом
разделе мы оставим без доказательства, так как идеологически они повто-
ряют доказательства, приведенные выше.
Определение 3.40. Пусть положительные числа α, β ∈ R определяются
сечениями A1 |B1 и A2 |B2 , соответственно. Построим множества

A0 = {a1 a2 : a1 ∈ A1 , a2 ∈ A2 , a1 ≥ 0, a2 ≥ 0}, B = {b1 b2 : b1 ∈ B1 , b2 ∈ B2 }.

Обозначим Q− − множество всех отрицательных рациональных чисел, ξ =
= sup A0 = inf B (равенство sup A0 = inf B доказывается так же, как это
было сделано при построении суммы двух чисел). Наконец, положим A =
= A0 ∪Q− , если ξ ∈
                  / Q, и A = A0 ∪Q− ∪{ξ}, если ξ ∈ Q. Число, определяемое
сечением A|B, будем называть произведением чисел α и β и записывать
γ = αβ (γ = α · β).
Упражнение 7. Показать, что A|B, построенное в определении 3.40, дей-
ствительно является сечением в множестве Q.
Упражнение 8. Показать, что −α = (−1) · α для любого α ∈ R.
  Для произвольных чисел α, β ∈ R определим произведение αβ следу-
ющим образом:
                   
                   
                     0, если α = 0 или β = 0;
                   
                      −((−α)β), если α < 0 и β > 0;
              αβ =
                   
                     −(α(−β)), если α > 0 и β < 0;
                   
                      (−α)(−β), если α < 0 и β < 0.

                                        34