Введение в математический анализ. Азизов Т.Я - 33 стр.

Предложение 3.34. Для любых α, β, γ ∈ R выполнены равенства

      α + β = β + α, (α + β) + γ = α + (β + γ), α + 0 = 0 + α = α.

Определение 3.35. Пусть α − произвольное вещественное число. Число
−α, удовлетворяющее условию α + (−α) = 0, называется числом, противо-
положным числу α.
  Из предложения 3.34 следует, что α + (−α) = −α + α = 0.
Упражнение 4. Показать, что если число α определяется сечением A|B,
то число −α определяется сечением −B| − A, где −A = {−a : a ∈ A},
−B = {−b : b ∈ B}. Исходя из этого, получить равенство α = −(−α) и
доказать, что: 1) α < 0 ⇒ −α > 0, 2) α > 0 ⇒ −α < 0.
Определение 3.36. Разностью чисел α ∈ R и β ∈ R называется такое
число γ ∈ R, что α = β + γ. В этом случае будем писать γ = α − β.
Предложение 3.37. Разность чисел α и β определяется однозначно, а
именно α − β = α + (−β).
Доказательство. Предположим, что существуют два числа γ 1 = α − β и
γ2 = α − β. Тогда по определению 3.36 α = β + γ1 и α = β + γ2 . Рассмотрим
сумму −β + α + (−γ1 ). С одной стороны, используя предложение 3.34 и
определение противоположного числа, получаем

 −β + α + (−γ1 ) = −β + (β + γ1 ) + (−γ1 ) = (−β + β) + (γ1 + (−γ1 )) = 0.

С другой стороны, аналогичные рассуждения приводят к равенствам

−β +α+(−γ1 ) = −β +(β +γ2 )+(−γ1 ) = (−β +β)+(γ2 +(−γ1 )) = γ2 +(−γ1 ).

В силу единственности суммы получаем равенство γ2 + (−γ1 ) = 0. Значит,

          γ1 = 0 + γ1 = (γ2 + (−γ1 )) + γ1 = γ2 + (−γ1 + γ1 ) = γ2 .

   Докажем теперь равенство α − β = α + (−β). Действительно, из опреде-
ления разности и равенств

      β + (α + (−β)) = β + (−β + α) = (β + (−β)) + α = 0 + α = α

вытекает, что α + (−β) является разностью чисел α и β, то есть α − β =
= α + (−β).
Упражнение 5. Доказать, что для α, β ∈ Q определение 3.36 совпадает с
обычным правилом вычитания рациональных чисел.

                                      33