Введение в математический анализ. Азизов Т.Я - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

множество Q∩[0, 1] также является счетным (см. предложение 3.28). Значит,
существует биективное отображение g : Q ∩ [0, 1] → N. Тогда h = h(α), где
h(α) =
½
2f(α), если α ∈ Q ∩ [0, 1];
2g(α) − 1, если α ∈ [0, 1] \ Q,
осуществляет взаимно однозначное соответствие между [0, 1] и N, что про-
тиворечит предложению 3.29.
3.4. Арифметические операции над вещественными числами
Сложение и вычитание вещественных чисел. Пусть числа α, β ∈ R
определяются сечениями A
1
|B
1
и A
2
|B
2
, соответственно. Определим мно-
жества A и B равенствами:
A
0
= {a
1
+ a
2
: a
1
∈ A
1
, a
2
∈ A
2
}, B = {b
1
+ b
2
: b
1
∈ B
1
, b
2
∈ B
2
}.
Ниже опишем три свойства, характеризующие множества A
0
и B.
1) Условие a
1
+ a
2
< b
1
+ b
2
выполнено для каждого a
i
∈ A
i
, b
i
∈ B
i
. Это
вытекает из того, что A
i
|B
i
являются сечениями, i = 1, 2.
2) Выполнено равенство sup A
0
= inf B. Из свойства 1) по теореме 3.16
следует, что существуют и конечны sup A
0
и inf B. Так как любое b ∈ B
является верхней гранью множества A
0
, то по определению точной верхней
грани sup A
0
≤ b для любого b ∈ B. Это означает, что sup A
0
является
нижней гранью множества B. Следовательно, sup A
0
≤ inf B. Рассмотрим
представления чисел α и β в виде десятичных дробей: α = α
0
, α
1
...α
n
...,
β = β
0
, β
1
...β
n
.... По теореме 3.8, примененной к каждому сечению A
i
|B
i
, и
определениям нижней и верхней граней множества для каждого n ∈ N∪{0}
выполнены неравенства
α
0
, α
1
...α
n
+ β
0
, β
1
...β
n
≤ α + β < α
0
, α
1
...α
n
+ β
0
, β
1
...β
n
+
2
10
n
.
Так как по теореме 3.8 α
0
, α
1
...α
n
∈ A
1
, β
0
, β
1
...β
n
∈ A
2
, α
0
, α
1
...α
n
+
1
10
n
∈ B
1
,
β
0
, β
1
...β
n
+
1
10
n
∈ B
2
, то по определению точных граней получаем неравенст-
ва
α
0
, α
1
...α
n
+ β
0
, β
1
...β
n
≤ inf A
0
≤ sup B ≤ α
0
, α
1
...α
n
+ β
0
, β
1
...β
n
+
2
10
n
.
Так как число
2
10
n
за счет выбора n можно сделать меньше любого ε, то,
согласно замечанию 3.7, получаем равенство sup A
0
= inf B.
3) Каждое из рациональных чисел за исключением, может быть числа
ξ = sup A
0
= inf B, принадлежит одному из множеств A
0
или B. Возьмем
произвольное r ∈ Q, отличное от ξ. Согласно первой части предложения 3.5
31
множество Q∩[0, 1] также является счетным (см. предложение 3.28). Значит,
существует биективное отображение g : Q ∩ [0, 1] → N. Тогда h = h(α), где
                       �
                          2f (α), если α ∈ Q ∩ [0, 1];
                h(α) =
                          2g(α) − 1, если α ∈ [0, 1] \ Q,
осуществляет взаимно однозначное соответствие между [0, 1] и N, что про-
тиворечит предложению 3.29.

3.4.    Арифметические операции над вещественными числами
  Сложение и вычитание вещественных чисел. Пусть числа α, β ∈ R
определяются сечениями A1 |B1 и A2 |B2 , соответственно. Определим мно-
жества A и B равенствами:
       A0 = {a1 + a2 : a1 ∈ A1 , a2 ∈ A2 }, B = {b1 + b2 : b1 ∈ B1 , b2 ∈ B2 }.
Ниже опишем три свойства, характеризующие множества A 0 и B.
   1) Условие a1 + a2 < b1 + b2 выполнено для каждого ai ∈ Ai , bi ∈ Bi . Это
вытекает из того, что Ai |Bi являются сечениями, i = 1, 2.
   2) Выполнено равенство sup A0 = inf B. Из свойства 1) по теореме 3.16
следует, что существуют и конечны sup A0 и inf B. Так как любое b ∈ B
является верхней гранью множества A0 , то по определению точной верхней
грани sup A0 ≤ b для любого b ∈ B. Это означает, что sup A0 является
нижней гранью множества B. Следовательно, sup A 0 ≤ inf B. Рассмотрим
представления чисел α и β в виде десятичных дробей: α = α 0 , α1 ...αn ...,
β = β0 , β1 ...βn .... По теореме 3.8, примененной к каждому сечению Ai |Bi , и
определениям нижней и верхней граней множества для каждого n ∈ N∪{0}
выполнены неравенства
                                                                                   2
        α0 , α1 ...αn + β0 , β1 ...βn ≤ α + β < α0 , α1 ...αn + β0 , β1 ...βn +       .
                                                                                  10n
Так как по теореме 3.8 α0 , α1 ...αn ∈ A1 , β0 , β1 ...βn ∈ A2 , α0 , α1 ...αn + 101n ∈ B1 ,
β0 , β1 ...βn + 101n ∈ B2 , то по определению точных граней получаем неравенст-
ва
                                                                                      2
  α0 , α1 ...αn + β0 , β1 ...βn ≤ inf A0 ≤ sup B ≤ α0 , α1 ...αn + β0 , β1 ...βn + n .
                                                                                     10
   Так как число 102n за счет выбора n можно сделать меньше любого ε, то,
согласно замечанию 3.7, получаем равенство sup A0 = inf B.
   3) Каждое из рациональных чисел за исключением, может быть числа
ξ = sup A0 = inf B, принадлежит одному из множеств A0 или B. Возьмем
произвольное r ∈ Q, отличное от ξ. Согласно первой части предложения 3.5

                                             31

Страницы