Введение в математический анализ. Азизов Т.Я - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

В приводимых ниже определениях предполагается, что M ⊆ R.
Определение 3.19. Точка x
0
∈ R называется предельной точкой мно-
жества M, если любая окрестность U(x
0
) содержит хотя бы одну точку
множества M, отличную от x
0
. Множество всех предельных точек множест-
ва M будем обозначать M
0
.
Определение 3.20. Замыканием M называется множество M = M
0
∪ M.
Определение 3.21. Множество M называется замкнутым, если M
0
⊆ M.
Определение 3.22. Точка x
0
∈ M называется изолированной точкой этого
множества, если найдется окрестность U(x
0
) такая, что выполнено условие
U(x
0
) ∩ M = {x
0
}.
Определение 3.23. Точка x
0
называется внутренней точкой множества M,
если найдется окрестность U(x
0
), состоящая только из точек множества M.
Множество всех внутренних точек множества M будем обозначать IntM.
Определение 3.24. Точка x
0
называется граничной точкой множества M,
если любая окрестность U(x
0
) содержит и точки множества M, и точки
множества R\M. Множество всех граничных точек M называется границей
M и обозначается ∂M.
Из определения 3.23 следует, что IntM ⊆ M.
Определение 3.25. Множество M называется открытым, если IntM = M.
Непосредственно из определений 3.21, 3.25 вытекает, что множества ∅
и R одновременно являются замкнутыми и открытыми. Никакое другое
подмножество множества R таким свойством не обладает.
Предложение 3.26. Пусть M − произвольное собственное подмножест-
во множества R. Тогда
1) множество M замкнуто ⇔ множество R \ M открыто;
2) множество M открыто ⇔ множество R \ M замкнуто.
Доказательство. Докажем первое утверждение. Пусть M − произвольное
замкнутое множество. Возьмем произвольную точку x
0
∈ R\M. Предполо-
жим, что каждая окрестность U(x
0
) содержит хотя бы одну точку y ∈ M.
Так как x
0
∈ R \M, то x
0
6= y. Согласно определению 3.19 это означает, что
x
0
∈ M
0
. Отсюда, в силу замкнутости M, следует, что x
0
∈ M. Получили
противоречие с условием M ∩ (R \ M) = ∅.
Пусть R \M − открытое множество и x
0
− предельная точка множества
M. Предположим, что x
0
/∈ M. Тогда x
0
∈ R \ M. По условию существует
29
  В приводимых ниже определениях предполагается, что M ⊆ R.
Определение 3.19. Точка x0 ∈ R называется предельной точкой мно-
жества M , если любая окрестность U (x0 ) содержит хотя бы одну точку
множества M , отличную от x0 . Множество всех предельных точек множест-
ва M будем обозначать M � .
Определение 3.20. Замыканием M называется множество M = M � ∪ M .
Определение 3.21. Множество M называется замкнутым, если M � ⊆ M .
Определение 3.22. Точка x0 ∈ M называется изолированной точкой этого
множества, если найдется окрестность U (x0 ) такая, что выполнено условие
U (x0 ) ∩ M = {x0 }.
Определение 3.23. Точка x0 называется внутренней точкой множества M ,
если найдется окрестность U (x0 ), состоящая только из точек множества M .
Множество всех внутренних точек множества M будем обозначать IntM .
Определение 3.24. Точка x0 называется граничной точкой множества M ,
если любая окрестность U (x0 ) содержит и точки множества M , и точки
множества R\M . Множество всех граничных точек M называется границей
M и обозначается ∂M .
  Из определения 3.23 следует, что IntM ⊆ M .
Определение 3.25. Множество M называется открытым, если IntM = M .
  Непосредственно из определений 3.21, 3.25 вытекает, что множества ∅
и R одновременно являются замкнутыми и открытыми. Никакое другое
подмножество множества R таким свойством не обладает.
Предложение 3.26. Пусть M − произвольное собственное подмножест-
во множества R. Тогда
   1) множество M замкнуто ⇔ множество R \ M открыто;
   2) множество M открыто ⇔ множество R \ M замкнуто.
Доказательство. Докажем первое утверждение. Пусть M − произвольное
замкнутое множество. Возьмем произвольную точку x 0 ∈ R \ M . Предполо-
жим, что каждая окрестность U (x0 ) содержит хотя бы одну точку y ∈ M .
Так как x0 ∈ R \ M , то x0 �= y. Согласно определению 3.19 это означает, что
x0 ∈ M � . Отсюда, в силу замкнутости M , следует, что x0 ∈ M . Получили
противоречие с условием M ∩ (R \ M ) = ∅.
   Пусть R \ M − открытое множество и x0 − предельная точка множества
M . Предположим, что x0 ∈   / M . Тогда x0 ∈ R \ M . По условию существует

                                     29

Страницы