Введение в математический анализ. Азизов Т.Я - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

окрестность U
0
(x
0
) ⊆ R \ M, что противоречит выбору точки x
0
. Следова-
тельно, x
0
∈ M и множество M замкнуто.
Второе утверждение вытекает из первого и равенства R\(R\M) = M.
Вернемся теперь к рассмотрению мощности множеств.
Предложение 3.27. Множество Q является счетным.
Доказательство. Положим a
ij
=
i
j
, b
ij
= −
i
j
для взаимно простых чисел
i ∈ N, j ∈ N. Образуем блок A
n
из всех рациональных чисел a
ij
, b
ij
, у
которых i + j = n, и обозначим A
0
= {0}. Внутри каждого блока числа
выписываются в порядке убывания их модулей, из двух одинаковых по
модулю чисел первым выписывается положительное. Выпишем все рацио-
нальные числа последовательно блоками A
0
, A
1
, ..., A
n
, .... В построенной
последовательности каждое рациональное число r встречается ровно один
раз и поэтому имеет определенный номер n
r
(определяемый порядком следо-
вания этого числа). Отображение f(r) = n
r
является взаимно однозначным
отображением Q на N. Следовательно, Q − счетное множество.
Замечание 3.28. Такими же рассуждениями, как в доказательстве теоремы
3.27, можно показать, что любое бесконечное подмножество множества Q
является счетным.
Предложение 3.29. Множество всех чисел из отрезка [0, 1] не является
счетным.
Доказательство. Запишем каждое число из отрезка [0, 1] в виде бесконеч-
ной десятичной дроби. Предположим, что множество [0, 1] счетное. Тогда
существует биекция f : N → [0, 1]. Положим α
n
= f(n), n ∈ N. Так как
f : N → [0, 1] − биективное отображение, то {α
n
: n ∈ N} = [0, 1]. Запишем
каждое α
n
, n ∈ N в виде α
n
= 0, α
(n)
1
α
(n)
2
.... Построим число α
0
= 0, α
1
α
2
..., в
котором α
n
∈ N ∩(0, 9) и α
n
6= α
(n)
n
для всех n ∈ N. Очевидно, что α ∈ [0, 1]
и α 6= α
n
для всех n ∈ N. Получили противоречие с условием f(N) = [0, 1].
Следовательно, множество [0, 1] не является счетным.
Определение 3.30. Если множество A равномощно отрезку [0, 1], то го-
ворят, что A имеет мощность континуума. В этом случае множество A
называется континуальным.
Предложение 3.31. Множество иррациональных чисел отрезка [0, 1] не
является счетным.
Доказательство. Предположим противное. Тогда существует биективное
отображение f : [0, 1] \Q → N. Так как множество Q является счетным, то
30
окрестность U0 (x0 ) ⊆ R \ M , что противоречит выбору точки x0 . Следова-
тельно, x0 ∈ M и множество M замкнуто.
   Второе утверждение вытекает из первого и равенства R\(R\M ) = M .
  Вернемся теперь к рассмотрению мощности множеств.
Предложение 3.27. Множество Q является счетным.
Доказательство. Положим aij = ji , bij = − ji для взаимно простых чисел
 i ∈ N, j ∈ N. Образуем блок An из всех рациональных чисел aij , bij , у
которых i + j = n, и обозначим A0 = {0}. Внутри каждого блока числа
выписываются в порядке убывания их модулей, из двух одинаковых по
модулю чисел первым выписывается положительное. Выпишем все рацио-
нальные числа последовательно блоками A0 , A1 , ..., An , .... В построенной
последовательности каждое рациональное число r встречается ровно один
раз и поэтому имеет определенный номер nr (определяемый порядком следо-
вания этого числа). Отображение f (r) = nr является взаимно однозначным
отображением Q на N. Следовательно, Q − счетное множество.
Замечание 3.28. Такими же рассуждениями, как в доказательстве теоремы
3.27, можно показать, что любое бесконечное подмножество множества Q
является счетным.
Предложение 3.29. Множество всех чисел из отрезка [0, 1] не является
счетным.
Доказательство. Запишем каждое число из отрезка [0, 1] в виде бесконеч-
ной десятичной дроби. Предположим, что множество [0, 1] счетное. Тогда
существует биекция f : N → [0, 1]. Положим αn = f (n), n ∈ N. Так как
f : N → [0, 1] − биективное отображение, то {αn : n ∈ N} = [0, 1]. Запишем
                                  (n) (n)
каждое αn , n ∈ N в виде αn = 0, α1 α2 .... Построим число α0 = 0, α1 α2 ..., в
                                 (n)
котором αn ∈ N ∩ (0, 9) и αn �= αn для всех n ∈ N. Очевидно, что α ∈ [0, 1]
и α �= αn для всех n ∈ N. Получили противоречие с условием f (N) = [0, 1].
Следовательно, множество [0, 1] не является счетным.
Определение 3.30. Если множество A равномощно отрезку [0, 1], то го-
ворят, что A имеет мощность континуума. В этом случае множество A
называется континуальным.
Предложение 3.31. Множество иррациональных чисел отрезка [0, 1] не
является счетным.
Доказательство. Предположим противное. Тогда существует биективное
отображение f : [0, 1] \ Q → N. Так как множество Q является счетным, то

                                      30

Страницы