Введение в математический анализ. Азизов Т.Я - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

выполняется одно из неравенств r < ξ, r > ξ. Докажем, что если r < ξ, то
r ∈ A
0
. Предположим, что выполнено условие r < ξ, но r /∈ A
0
. Возьмем
произвольное число a = a
1
+ a
2
∈ A
0
, a
1
∈ A
1
, a
2
∈ A
2
. Тогда r −a
1
/∈ A
2
(в
противном случае r = a
1
+ (r −a
1
) и r −a
1
∈ A
2
, что означает, что r ∈ A
0
).
Так как A
2
|B
2
является сечением, то r −a
1
∈ B
2
и a
2
< r −a
1
для a
2
∈ A
2
.
Отсюда следует, что a = a
1
+ a
2
< a
1
+ (r −a
1
) = r для любого a ∈ A. Это
означает, что выполнено неравенство ξ ≤ r, что противоречит сделанному
предположению. Таким образом, r ∈ A
0
.
Предположим теперь, что r > ξ. Проведя аналогичные рассуждения,
получим, что r ∈ B.
Положим A = A
0
, если ξ = sup A
0
/∈ Q и A = A
0
∪ {ξ}, если ξ ∈ Q. Из
свойств 1) и 3) и определения сечения вытекает, что A|B является сечением
в множестве Q.
Определение 3.32. Пусть числа α, β ∈ R определяются сечениями A
1
|B
1
и
A
2
|B
2
, соответственно. Число γ, определяемое построенным выше сечением
A|B, будем называть суммой чисел α и β и записывать γ = α + β.
Упражнение 3. Доказать, что для α, β ∈ Q определение 3.32 совпадает с
обычным правилом сложения рациональных чисел.
Пример 3.33. Используя определение 3.32, покажем, что
√
3+
√
12 =
√
27.
Так же, как в примере 3.4, считается, что числу
√
3 соответствует сечение
A
1
|B
1
, где
A
1
= {a
1
∈ Q : (a
1
≤ 0) или (0 < a
1
и a
2
1
< 3)}, B
1
= {b
1
∈ Q : 3 < b
2
1
}.
Аналогично, числу
√
12 соответствует сечение A
2
|B
2
, где
A
2
= {a
2
∈ Q : (a
2
≤ 0) или (0 < a
2
и a
2
2
< 12)}, B
2
= {b
2
∈ Q : 12 < b
2
2
}.
Построим сечение A|B, где
A = {a
1
+ a
2
: a
1
∈ A
1
, a
2
∈ A
2
}, B = {b
1
+ b
2
: b
1
∈ B
1
, b
2
∈ B
2
}.
Покажем, что 27 < (b
1
+ b
2
)
2
. Во-первых, заметим, что из определения
сечений A
1
|B
1
и A
2
|B
2
следуют неравенства b
1
> 0, b
2
> 0, b
2
1
b
2
2
> 36.
Отсюда, используя свойства сравнения рациональных чисел, получаем не-
равенство b
1
b
2
> 6. Тогда (b
1
+ b
2
)
2
= b
2
1
+ b
2
2
+ 2b
1
b
2
> 27. Аналогично
показывается, что сумма a
1
+a
2
− отрицательное число или положительное
число, удовлетворяющее условию (a
1
+ a
2
)
2
< 27. Следовательно, сечение
A|B определяет число
√
27.
Непосредственно из определения 3.32 и свойств сложения рациональных
чисел вытекает следующее утверждение.
32
выполняется одно из неравенств r < ξ, r > ξ. Докажем, что если r < ξ, то
r ∈ A0 . Предположим, что выполнено условие r < ξ, но r ∈      / A0 . Возьмем
произвольное число a = a1 + a2 ∈ A0 , a1 ∈ A1 , a2 ∈ A2 . Тогда r − a1 ∈
                                                                       / A2 (в
противном случае r = a1 + (r − a1 ) и r − a1 ∈ A2 , что означает, что r ∈ A0 ).
Так как A2 |B2 является сечением, то r − a1 ∈ B2 и a2 < r − a1 для a2 ∈ A2 .
Отсюда следует, что a = a1 + a2 < a1 + (r − a1 ) = r для любого a ∈ A. Это
означает, что выполнено неравенство ξ ≤ r, что противоречит сделанному
предположению. Таким образом, r ∈ A0 .
   Предположим теперь, что r > ξ. Проведя аналогичные рассуждения,
получим, что r ∈ B.
   Положим A = A0 , если ξ = sup A0 ∈   / Q и A = A0 ∪ {ξ}, если ξ ∈ Q. Из
свойств 1) и 3) и определения сечения вытекает, что A|B является сечением
в множестве Q.
Определение 3.32. Пусть числа α, β ∈ R определяются сечениями A 1 |B1 и
A2 |B2 , соответственно. Число γ, определяемое построенным выше сечением
A|B, будем называть суммой чисел α и β и записывать γ = α + β.
Упражнение 3. Доказать, что для α, β ∈ Q определение 3.32 совпадает с
обычным правилом сложения рациональных чисел.
                                                          √ √         √
Пример 3.33. Используя определение 3.32, покажем, √   что  3+   12 =    27.
   Так же, как в примере 3.4, считается, что числу 3 соответствует сечение
A1 |B1 , где
  A1 = {a1 ∈ Q : (a1 ≤ 0) или (0 < a1 и a21 < 3)}, B1 = {b1 ∈ Q : 3 < b21 }.
                   √
Аналогично, числу 12 соответствует сечение A2 |B2 , где
 A2 = {a2 ∈ Q : (a2 ≤ 0) или (0 < a2 и a22 < 12)}, B2 = {b2 ∈ Q : 12 < b22 }.
  Построим сечение A|B, где
     A = {a1 + a2 : a1 ∈ A1 , a2 ∈ A2 }, B = {b1 + b2 : b1 ∈ B1 , b2 ∈ B2 }.
Покажем, что 27 < (b1 + b2 )2 . Во-первых, заметим, что из определения
сечений A1 |B1 и A2 |B2 следуют неравенства b1 > 0, b2 > 0, b21 b22 > 36.
Отсюда, используя свойства сравнения рациональных чисел, получаем не-
равенство b1 b2 > 6. Тогда (b1 + b2 )2 = b21 + b22 + 2b1 b2 > 27. Аналогично
показывается, что сумма a1 + a2 − отрицательное число или положительное
                                             2
число, удовлетворяющее √ условию (a1 + a2 ) < 27. Следовательно, сечение
A|B определяет число 27.
  Непосредственно из определения 3.32 и свойств сложения рациональных
чисел вытекает следующее утверждение.

                                       32

Страницы