Введение в математический анализ. Азизов Т.Я - 28 стр.

   2) Для любого x0 ∈ M найдется такое x ∈ M , что x0 < x. Обозначим
B − множество всех верхних граней множества M . Так как множество M
ограничено сверху, то B �= ∅. Положим A = R \ B. Отсюда следует, что
A ∪ B = R. Покажем, что A �= ∅. Для этого возьмем произвольное число
x0 ∈ M . В силу сделанного предположения, x0 не является верхней гранью
множества M . Значит, M ⊆ A. Докажем, наконец, что для любых a ∈ A,
b ∈ B выполнено неравенство a < b. Так как все верхние грани множества
M находятся в B и A ∩ B = ∅, то для любого a ∈ A найдется такое x ∈ M ,
что a < x. По определению множества B неравенство x < b выполняется
для всех x ∈ M, b ∈ B. Теперь требуемое неравенство a < b вытекает из
предложения 3.5.
   Таким образом, A|B является сечением в R. Легко видеть, что в классе
A нет наибольшего элемента (если бы в A был наибольший элемент, то в
силу включения M ⊆ A он бы являлся верхней гранью множества M , что
противоречит построению множества A). Значит, по теореме 3.12 существу-
ет наименьший элемент в классе B, который по определению 3.13 и будет
точной верхней гранью множества M .
   Утверждение относительно точной нижней грани доказывается анало-
гично.
   Точную верхнюю грань ограниченного сверху множества M будем обоз-
начать sup M . Точную нижнюю грань ограниченного снизу множества M
будем обозначать inf M . В дальнейшем так же будем пользоваться следую-
щими договоренностями: если M не ограничено сверху, то sup M = +∞;
если M не ограничено снизу, то inf M = −∞; inf ∅ = +∞, sup ∅ = −∞.
   К рассмотрению точных граней множеств мы вернемся в заключении
раздела «Свойства вещественных чисел». Там будут приведены два крите-
рия точных граней, удобные для практического применения.

3.3.   Подмножества множества вещественных чисел
Определение 3.17. Окрестностью U (x0 ) точки x0 ∈ R будем называть
любой интервал (a, b), содержащий точку x0 . Окрестности бесконечно уда-
ленных точек определим равенствами:

        U (−∞) = (−∞, b) ∪ {−∞} для некоторого b ∈ R ∪ {+∞},

        U (+∞) = (a, +∞) ∪ {+∞} для некоторого a ∈ R ∪ {−∞},
  U (∞) = (−∞, b) ∪ (a, +∞) ∪ {−∞} ∪ {+∞} для некоторых a, b ∈ R.
Определение 3.18. Для произвольного ε > 0 под ε-окрестностью U ε (x0 )
точки x0 ∈ R будем понимать любой интервал вида (a − ε, a + ε).

                                   28