Введение в математический анализ. Азизов Т.Я - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

типа и
{α
0
, α
1
...α
n
: n ∈ N} ⊂ A, {α
0
, α
1
...α
n
+
1
10
n
: n ∈ N} ⊂ B.
Теорема 3.8 позволяет отождествить каждое число α ∈ R с дробью
α
0
, α
1
...α
n
..., которая строится указанным выше способом. Это делает кор-
ректным запись α = α
0
, α
1
...α
n
.... При этом нужно иметь в виду, что дробь
α
0
, α
1
...α
n
... в наших построениях не является вещественным числом, а слу-
жит лишь изображением некоторого вещественного числа. Если в прове-
денных выше рассуждениях взять за основу сечения второго типа вместо
сечений первого типа, то вместо дробей с нулем в периоде мы получим дроби
с числом 9 в периоде. Чтобы по десятичной дроби со знаменателем 2
s
5
t
построить десятичную дробь с числом 9 в периоде, нужно в 6 поменять
местами знаки ≤ и <.
Пример 3.9. Покажем, как можно получить представление числа
√
2 в
виде десятичной дроби. Обозначим A|B − сечение, порождающее число
√
2 (смотрите пример 3.4). Непосредственными вычислениями проверяются
следующие ниже неравенства:
1
2
< 2 < 2
2
, (1, 4)
2
= 1, 96 < 2 < (1, 5)
2
= 2, 25,
(1, 41)
2
= 1, 9881 < 2 < (1, 42)
2
= 2, 0164,
(1, 414)
2
= 1, 999396 < 2 < (1, 415)
2
= 2, 002225,
(1, 4142)
2
= 1, 99996164 < 2 < (1, 4143)
2
= 2, 00024449,
(1
,
41421)
2
= 1
,
9999899241
<
2
<
(1
,
41422)
2
= 2
,
0000182084
и т. д.
Из этих неравенств и определения сечения для числа
√
2 получаем, что
{1; 1, 4; 1, 41; 1, 4142; 1, 41421} ⊂ A, {2; 1, 5; 1, 42; 1, 4143; 1, 41422} ⊂ B.
По теореме 3.8 это означает, что
√
2 = 1, 414221....
Правило сравнения вещественных чисел теперь можно сформулировать
в терминах десятичных дробей.
Предложение 3.10. Пусть α = α
0
, α
1
...α
n
, ..., β = β
0
, β
1
...β
n
.... Тогда
α < β ⇔ α
k
= β
k
для k = 0, ..., k
0
− 1 и α
k
0
< β
k
0
.
Предлагаем читателям доказать это утверждение самостоятельно.
В заключении этого раздела покажем, что множество R не может быть
расширено таким образом, как мы расширили множество Q.
26
типа и
                                                          1
         {α0 , α1 ...αn : n ∈ N} ⊂ A, {α0 , α1 ...αn +       : n ∈ N} ⊂ B.
                                                         10n
    Теорема 3.8 позволяет отождествить каждое число α ∈ R с дробью
α0 , α1 ...αn ..., которая строится указанным выше способом. Это делает кор-
ректным запись α = α0 , α1 ...αn .... При этом нужно иметь в виду, что дробь
α0 , α1 ...αn ... в наших построениях не является вещественным числом, а слу-
жит лишь изображением некоторого вещественного числа. Если в прове-
денных выше рассуждениях взять за основу сечения второго типа вместо
сечений первого типа, то вместо дробей с нулем в периоде мы получим дроби
с числом 9 в периоде. Чтобы по десятичной дроби со знаменателем 2 s 5t
построить десятичную дробь с числом 9 в периоде, нужно в 6 поменять
местами знаки ≤ и <.
                                                                        √
Пример 3.9. Покажем, как можно получить представление числа 2 в
виде
√      десятичной дроби. Обозначим A|B − сечение, порождающее число
  2 (смотрите пример 3.4). Непосредственными вычислениями проверяются
следующие ниже неравенства:

                12 < 2 < 22 , (1, 4)2 = 1, 96 < 2 < (1, 5)2 = 2, 25,

                   (1, 41)2 = 1, 9881 < 2 < (1, 42)2 = 2, 0164,
               (1, 414)2 = 1, 999396 < 2 < (1, 415)2 = 2, 002225,
           (1, 4142)2 = 1, 99996164 < 2 < (1, 4143)2 = 2, 00024449,
    (1, 41421)2 = 1, 9999899241 < 2 < (1, 41422)2 = 2, 0000182084 и т. д.
                                                        √
Из этих неравенств и определения сечения для числа 2 получаем, что

  {1; 1, 4; 1, 41; 1, 4142; 1, 41421} ⊂ A, {2; 1, 5; 1, 42; 1, 4143; 1, 41422} ⊂ B.
                                       √
По теореме 3.8 это означает, что 2 = 1, 414221....
   Правило сравнения вещественных чисел теперь можно сформулировать
в терминах десятичных дробей.
Предложение 3.10. Пусть α = α0 , α1 ...αn , ..., β = β0 , β1 ...βn .... Тогда

              α < β ⇔ αk = βk для k = 0, ..., k0 − 1 и αk0 < βk0 .

   Предлагаем читателям доказать это утверждение самостоятельно.
   В заключении этого раздела покажем, что множество R не может быть
расширено таким образом, как мы расширили множество Q.

                                         26

Страницы