Введение в математический анализ. Азизов Т.Я - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Покажем теперь, что каждой бесконечной дроби α
0
, α
1
...α
n
..., которая
не имеет в периоде числа 9, можно поставить в соответствие единственное
сечение A|B первого или третьего типов, которое определяет эту дробь.
Если α
0
, α
1
...α
n
... − периодическая дробь, то существует рациональное
число r = α
0
, α
1
...α
n
.... В этом случае дроби α
0
, α
1
...α
n
... ставим в соответст-
вие сечение A|B, с A = {a ∈ Q : a ≤ r}, B = Q/A.
Покажем, что каждой бесконечной непериодической дроби α
0
, α
1
...α
n
...
можно поставить в соответствие единственное сечение A|B третьего типа,
которое определяет эту дробь в соответствии с изложенным выше алгорит-
мом. Для этого отнесем к B все рациональные числа b, удовлетворяющие
при некотором n ∈ N ∪ {0} неравенству b ≥ α
0
, α
1
...α
n
+
1
10
n
, множество A
определим равенством A = Q \B. Тогда A|B является сечением. Предполо-
жим, что B содержит наименьший элемент β = β
0
, β
1
...β
n
.... Так как имеет
место вложение {α
0
, α
1
...α
n
+
1
10
n
: n ∈ N} ⊂ B, то {α
0
, α
1
...α
n
: n ∈ N} ⊂ A .
Покажем, например, что α
0
, α
1
α
2
∈ A. Во-первых, заметим, что, очевидно,
выполнены неравенства α
0
, α
1
α
2
< α
0
+ 1; α
0
, α
1
α
2
< α
0
, α
1
+
1
10
; α
0
, α
1
α
2
<
< α
0
, α
1
α
2
+
1
100
. С другой стороны, для любого n > 2 имеем неравенство
α
0
, α
1
α
2
< α
0
, α
1
α
2
...α
n
< α
0
, α
1
α
2
...α
n
+
1
10
n
. Значит, для любого n ∈ N∪{0}
α
0
, α
1
α
2
< α
0
, α
1
α
2
...α
n
+
1
10
n
. В соответствии с определением множеств
A и B это означает, что α
0
, α
1
α
2
∈ A. Общий случай рассматривается
аналогично. Таким образом, для всех n ∈ N ∪ {0} выполнены неравенства
α
0
, α
1
...α
n
< β = β
0
, β
1
...β
n
... ≤ α
0
, α
1
...α
n
+
1
10
n
. (8)
Отсюда имеем α
i
= β
i
для i = 0, ..., n, где n − произвольное натуральное
число. Значит, равенство α
i
= β
i
выполняется для всех i ∈ N ∪ {0}. Это
противоречит тому, что α
0
, α
1
...α
n
... является непериодической дробью, а
дробь β
0
, β
1
...β
n
... имеет период. Аналогично доказывается, что класс A не
содержит наибольшего элемента. Таким образом, построенное сечение A|B
относится к третьему типу.
То, что сечение A|B определяет дробь α
0
, α
1
...α
n
..., следует из вложений
{α
0
, α
1
...α
n
: n ∈ N} ⊂ A , {α
0
, α
1
...α
n
+
1
10
n
: n ∈ N} ⊂ B.
Суммируя приведенные выше рассуждения, приходим к следующему ре-
зультату.
Теорема 3.8. Между множеством всех сечений A|B первого и третьего
типов и множеством всех бесконечных десятичных дробей α
0
, α
1
...α
n
...,
не имеющих в периоде числа 9, существует взаимно однозначное соот-
ветствие. При этом рациональным числам соответствуют сечения пер-
вого типа, иррациональным числам соответствуют сечения третьего
25
    Покажем теперь, что каждой бесконечной дроби α 0 , α1 ...αn ..., которая
не имеет в периоде числа 9, можно поставить в соответствие единственное
сечение A|B первого или третьего типов, которое определяет эту дробь.
    Если α0 , α1 ...αn ... − периодическая дробь, то существует рациональное
число r = α0 , α1 ...αn .... В этом случае дроби α0 , α1 ...αn ... ставим в соответст-
вие сечение A|B, с A = {a ∈ Q : a ≤ r}, B = Q/A.
    Покажем, что каждой бесконечной непериодической дроби α 0 , α1 ...αn ...
можно поставить в соответствие единственное сечение A|B третьего типа,
которое определяет эту дробь в соответствии с изложенным выше алгорит-
мом. Для этого отнесем к B все рациональные числа b, удовлетворяющие
при некотором n ∈ N ∪ {0} неравенству b ≥ α0 , α1 ...αn + 101n , множество A
определим равенством A = Q \ B. Тогда A|B является сечением. Предполо-
жим, что B содержит наименьший элемент β = β0 , β1 ...βn .... Так как имеет
место вложение {α0 , α1 ...αn + 101n : n ∈ N} ⊂ B, то {α0 , α1 ...αn : n ∈ N} ⊂ A.
Покажем, например, что α0 , α1 α2 ∈ A. Во-первых, заметим, что, очевидно,
                                                                           1
выполнены неравенства α0 , α1 α2 < α0 + 1; α0 , α1 α2 < α0 , α1 + 10         ; α0 , α 1 α 2 <
                  1
< α0 , α1 α2 + 100 . С другой стороны, для любого n > 2 имеем неравенство
α0 , α1 α2 < α0 , α1 α2 ...αn < α0 , α1 α2 ...αn + 101n . Значит, для любого n ∈ N∪{0}
α0 , α1 α2 < α0 , α1 α2 ...αn + 101n . В соответствии с определением множеств
A и B это означает, что α0 , α1 α2 ∈ A. Общий случай рассматривается
аналогично. Таким образом, для всех n ∈ N ∪ {0} выполнены неравенства
                                                                           1
                α0 , α1 ...αn < β = β0 , β1 ...βn ... ≤ α0 , α1 ...αn +       .          (8)
                                                                          10n
   Отсюда имеем αi = βi для i = 0, ..., n, где n − произвольное натуральное
число. Значит, равенство αi = βi выполняется для всех i ∈ N ∪ {0}. Это
противоречит тому, что α0 , α1 ...αn ... является непериодической дробью, а
дробь β0 , β1 ...βn ... имеет период. Аналогично доказывается, что класс A не
содержит наибольшего элемента. Таким образом, построенное сечение A|B
относится к третьему типу.
   То, что сечение A|B определяет дробь α0 , α1 ...αn ..., следует из вложений
{α0 , α1 ...αn : n ∈ N} ⊂ A, {α0 , α1 ...αn + 101n : n ∈ N} ⊂ B.
   Суммируя приведенные выше рассуждения, приходим к следующему ре-
зультату.
Теорема 3.8. Между множеством всех сечений A|B первого и третьего
типов и множеством всех бесконечных десятичных дробей α0 , α1 ...αn ...,
не имеющих в периоде числа 9, существует взаимно однозначное соот-
ветствие. При этом рациональным числам соответствуют сечения пер-
вого типа, иррациональным числам соответствуют сечения третьего


                                             25

Страницы