Введение в математический анализ. Азизов Т.Я - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Замечание 3.7. Утверждение 2) остается верным, если (5) выполнено для
всех ε = ε
n
из множества Λ = {ε
n
∈ Q : ε
n
> 0, n ∈ N}, удовлетворяющего
условию: для любого ε > 0 найдется ε
n
0
∈ Λ такое, что ε
n
0
< ε. Действи-
тельно, возьмем произвольное ε > 0 и выберем ε
n
0
< ε, r
1
и r
2
так, чтобы
выполнялись неравенства:
r
1
≤ α ≤ r
2
, r
1
≤ β ≤ r
2
, r
2
− r
1
≤ ε
n
0
.
В этом случае будут выполнены условия 2) теоремы 3.6. Значит, α = β.
Покажем теперь, каким образом каждому сечению можно поставить в
соответствие единственную десятичную дробь. Чтобы избежать некоторой
неоднозначности, будем рассматривать только сечения первого и третьего
типов. При этом мы не исключим из рассмотрения ни одного вещественного
числа, так как сечения первого типа порождают в точности те же числа, что
и сечения второго типа (а именно все рациональные числа).
Пусть число α порождено сечением A|B первого или третьего типа и
α
0
− наибольшее целое число в классе A. Указанное α
0
существует, ибо в
противном случае мы получили бы B = ∅. Тогда α
0
+1 − наименьшее целое
число в классе B. В силу выбора чисел α и α
0
выполнены неравенства:
α
0
≤ α < α
0
+ 1.
Рассмотрим числа α
0
, α
0
+
1
n
, ..., α
0
+
n−1
n
, α
0
+1. Так как α
0
∈ A и α
0
+1 ∈ B,
то найдется целое k
1
∈ {0, 1, ..., 9} такое, что α
0
+
k
1
10
∈ A, α
0
+
k
1
+1
10
∈ B.
Обозначим α
1
=
k
1
10
. Тогда выполнены неравенства:
α
0
, α
1
≤ α < α
0
, α
1
+
1
10
.
Описанным выше методом найдем целое число k
2
∈ {0, 1, ..., 99} и α
2
=
k
2
100
,
удовлетворяющее условию:
α
0
, α
1
α
2
≤ α < α
0
, α
1
α
2
+
1
100
.
Продолжая далее аналогичным образом, получим, что для каждого n ∈ N
найдется целое k
n
∈ {0, 1, ..., 10
n
− 1} и α
n
=
k
n
10
n
, для которых
α
0
, α
1
...α
n
≤ α < α
0
, α
1
...α
n
+
1
10
n
. (6)
Таким образом, каждому сечению первого или третьего типов (или, что
аналогично, каждому α ∈ R) ставится в соответствие бесконечная деся-
тичная дробь α
0
, α
1
...α
n
..., где числа α
0
, α
1
, ..., α
n
определяются из (6) для
каждого n ∈ N ∪ {0}. Легко видеть, что при таком построении десятичной
23
Замечание 3.7. Утверждение 2) остается верным, если (5) выполнено для
всех ε = εn из множества Λ = {εn ∈ Q : εn > 0, n ∈ N}, удовлетворяющего
условию: для любого ε > 0 найдется εn0 ∈ Λ такое, что εn0 < ε. Действи-
тельно, возьмем произвольное ε > 0 и выберем εn0 < ε, r1 и r2 так, чтобы
выполнялись неравенства:

                    r1 ≤ α ≤ r2 , r1 ≤ β ≤ r2 , r2 − r1 ≤ εn0 .

В этом случае будут выполнены условия 2) теоремы 3.6. Значит, α = β.
   Покажем теперь, каким образом каждому сечению можно поставить в
соответствие единственную десятичную дробь. Чтобы избежать некоторой
неоднозначности, будем рассматривать только сечения первого и третьего
типов. При этом мы не исключим из рассмотрения ни одного вещественного
числа, так как сечения первого типа порождают в точности те же числа, что
и сечения второго типа (а именно все рациональные числа).
   Пусть число α порождено сечением A|B первого или третьего типа и
α0 − наибольшее целое число в классе A. Указанное α0 существует, ибо в
противном случае мы получили бы B = ∅. Тогда α 0 +1 − наименьшее целое
число в классе B. В силу выбора чисел α и α0 выполнены неравенства:

                                 α0 ≤ α < α0 + 1.

Рассмотрим числа α0 , α0 + n1 , ..., α0 + n−1
                                           n , α0 +1. Так как α0 ∈ A и α0 +1 ∈ B,
то найдется целое k1 ∈ {0, 1, ..., 9} такое, что α0 + 10   k1
                                                              ∈ A, α0 + k110+1 ∈ B.
Обозначим α1 = 10
                k1
                   . Тогда выполнены неравенства:
                                                         1
                           α0 , α 1 ≤ α < α 0 , α 1 +      .
                                                        10
Описанным выше методом найдем целое число k2 ∈ {0, 1, ..., 99} и α2 =          100 ,
                                                                                k2

удовлетворяющее условию:
                                                              1
                        α 0 , α 1 α2 ≤ α < α 0 , α 1 α 2 +       .
                                                             100
Продолжая далее аналогичным образом, получим, что для каждого n ∈ N
найдется целое kn ∈ {0, 1, ..., 10n − 1} и αn = 10
                                                kn
                                                   n , для которых


                                                                1
                      α0 , α1 ...αn ≤ α < α0 , α1 ...αn +          .           (6)
                                                               10n
  Таким образом, каждому сечению первого или третьего типов (или, что
аналогично, каждому α ∈ R) ставится в соответствие бесконечная деся-
тичная дробь α0 , α1 ...αn ..., где числа α0 , α1 , ..., αn определяются из (6) для
каждого n ∈ N ∪ {0}. Легко видеть, что при таком построении десятичной

                                           23

Страницы