Введение в математический анализ. Азизов Т.Я - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

тельные числа и нуль объединяются общим названием − неположительные
числа. Тот факт, что одновременно a < α и α < b , будем записывать в
виде двойного неравенства a < α < b. Аналогичным образом определяются
остальные двойные неравенства.
Подробнее на свойствах сравнения вещественных чисел мы остановимся
несколько позже. Здесь мы сформулируем лишь те свойства, которые будут
необходимы для ближайшего рассмотрения.
Предложение 3.5. 1) Для каждой пары чисел α, β ∈ R выполнено единст-
венное из условий α < β, α = β или α > β.
2) Для произвольных α, β, γ ∈ R выполнены импликации:
если α < β и β < γ, то α < γ;
если α ≤ β и β < γ, то α < γ;
если α < β и β ≤ γ, то α < γ;
если α ≤ β и β ≤ γ, то α ≤ γ.
Доказательство. 1) Заметим, во-первых, что условия α < β и α = β не
могут быть выполнены одновременно (доказательство этого факта получа-
ется непосредственно из правил сравнения, приведенных выше). Предполо-
жим, что оба условия α < β и α = β не выполнены и числа α, β порождены
сечениями A
1
|B
1
и A
2
|B
2
, соответственно. Следовательно, выполнено усло-
вие A
1
* A
2
. Это означает, что найдется r ∈ Q, удовлетворяющее условиям
r ∈ A
1
, r /∈ A
2
. Так как A
2
|B
2
является сечением, то r ∈ B
2
. Тогда для
любых a
2
∈ A
2
, b
1
∈ B
1
по определению сечения получаем неравенства
a
2
< r < b
1
. Это означает, что любое число a
2
, входящее в A
2
, принадлежит
A
1
. Таким образом, A
2
⊂ A
1
, то есть α > β.
Справедливость условия 2) вытекает из определения сравнения чисел
(смотрите также пример 1.16, пункт 4)).
Дополним множество R символами −∞ (минус бесконечность) и +∞
(плюс бесконечность), которые определяются неравенствами:
−∞ < α, α < +∞ для любого α ∈ R.
Кроме того, введем в рассмотрение символ ∞ (бесконечность неопределен-
ного знака), смысл которого будет несколько варьироваться в зависимости
от способа его употребления. В частности, мы будем использовать символ ∞
вместо +∞ или −∞, если нет необходимости подчеркивать, о бесконечности
какого знака идет речь.
21
тельные числа и нуль объединяются общим названием − неположительные
числа. Тот факт, что одновременно a < α и α < b, будем записывать в
виде двойного неравенства a < α < b. Аналогичным образом определяются
остальные двойные неравенства.
   Подробнее на свойствах сравнения вещественных чисел мы остановимся
несколько позже. Здесь мы сформулируем лишь те свойства, которые будут
необходимы для ближайшего рассмотрения.
Предложение 3.5. 1) Для каждой пары чисел α, β ∈ R выполнено единст-
венное из условий α < β, α = β или α > β.
   2) Для произвольных α, β, γ ∈ R выполнены импликации:

                      если α < β и β < γ, то α < γ;

                      если α ≤ β и β < γ, то α < γ;
                      если α < β и β ≤ γ, то α < γ;
                      если α ≤ β и β ≤ γ, то α ≤ γ.
Доказательство. 1) Заметим, во-первых, что условия α < β и α = β не
могут быть выполнены одновременно (доказательство этого факта получа-
ется непосредственно из правил сравнения, приведенных выше). Предполо-
жим, что оба условия α < β и α = β не выполнены и числа α, β порождены
сечениями A1 |B1 и A2 |B2 , соответственно. Следовательно, выполнено усло-
вие A1 � A2 . Это означает, что найдется r ∈ Q, удовлетворяющее условиям
r ∈ A1 , r ∈/ A2 . Так как A2 |B2 является сечением, то r ∈ B2 . Тогда для
любых a2 ∈ A2 , b1 ∈ B1 по определению сечения получаем неравенства
a2 < r < b1 . Это означает, что любое число a2 , входящее в A2 , принадлежит
A1 . Таким образом, A2 ⊂ A1 , то есть α > β.
   Справедливость условия 2) вытекает из определения сравнения чисел
(смотрите также пример 1.16, пункт 4)).
   Дополним множество R символами −∞ (минус бесконечность) и +∞
(плюс бесконечность), которые определяются неравенствами:

                  −∞ < α, α < +∞ для любого α ∈ R.

Кроме того, введем в рассмотрение символ ∞ (бесконечность неопределен-
ного знака), смысл которого будет несколько варьироваться в зависимости
от способа его употребления. В частности, мы будем использовать символ ∞
вместо +∞ или −∞, если нет необходимости подчеркивать, о бесконечности
какого знака идет речь.


                                     21

Страницы