Введение в математический анализ. Азизов Т.Я - 20 стр.

Пример 3.4. Пусть в A входят все неположительные рациональные числа
и положительные рациональные числа, квадрат которых меньше двух. К
множеству B отнесем все положительные рациональные числа, квадрат
которых больше двух. Очевидно, что A и B удовлетворяют условиям 1)
и 2) из определения сечения. Предположим, что найдется такое a 0 ∈ A,
что a ≤ a0 для всех a ∈ A. Выберем n ∈ N так, что (a0 + n1 )2 < 2. Для
этого достаточно взять n > 2a  0 +1
                              2−a20
                                    . Тогда a0 + n1 ∈ A и a0 + n1 > a0 , что
противоречит выбору a0 . Аналогично доказывается, что в классе B нет
наименьшего элемента. Таким образом, A|B является сечением третьего
типа.
   Так как для всех неотрицательных a ∈ A и всех b ∈ B выполнено
двойное неравенство a2 < 2 < b2 , то естественно считать, что сечение,
построенное в примере 3.4, порождает число, квадрат  √ которого равен двум.
Для обозначения этого числа используется символ 2. Общее определение
         √
символа n α будет дано ниже, после определения операций над веществен-
ными числами.
    Подобным же образом, будем считать, что всякое сечение третьего типа
порождает новый объект, который мы будем называть иррациональным
числом. Будем говорить, что каждое сечение первого или второго типа
порождает рациональное число (а именно то число, которое является наи-
большим в нижнем классе или наименьшим в верхнем классе). Отсюда
следует, что множества рациональных и иррациональных чисел не пересе-
каются, а также то, что иррациональные числа, порожденные различными
сечениями, не совпадают.
    Введем операцию сравнения иррациональных чисел с рациональными и
между собой следующим образом:
    a) если иррациональное число α порождено сечением A|B, то a < α для
любого a ∈ A и b > α для любого b ∈ B;
    б) если для i = 1, 2 иррациональные числа αi порождены сечениями
Ai |Bi , соответственно, то α1 > α2 ⇔ A1 ⊃ A2 .
    Рациональные и иррациональные числа называются вещественными или
действительными. Множество всех вещественных чисел, как было указано
выше, обозначается символом R. Для обозначения множества иррациональ-
ных чисел мы не будем вводить специального символа. То, что α является
иррациональным числом, будем кратко записывать в виде α ∈ R \ Q. Для
α, β ∈ R будем записывать α ≤ β, если α < β или α = β, и α ≥ β,
если α > β или α = β. Вещественные числа, большие (меньшие) нуля,
называются положительными (отрицательными). Положительные числа и
нуль объединяются общим названием − неотрицательные числа. Отрица-

                                     20