Введение в математический анализ. Азизов Т.Я - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Тогда в силу того, что x
i
> −1 при всех i = 1, ...., k + 1, имеем
(1 + x
1
)...(1 + x
k
)(1 + x
k+1
) ≥ (1 + x
1
+ ... + x
k
)(1 + x
k+1
) =
= 1 + x
1
+ ... + x
k
+ x
k+1
+ x
k+1
(x
1
+ ... + x
k
). (4)
Так как все числа x
i
одного знака, то x
k+1
(x
1
+ ... + x
k
) > 0. Следовательно,
(1 + x
1
)...(1 + x
k
)(1 + x
k+1
) ≥ 1 + x
1
+ ... + x
k
+ x
k+1
.
Таким образом, неравенство (3) доказано.
В случае x
1
= ... = x
n
= x > −1 неравенство (3) принимает вид
(1 + x)
n
≥ 1 + nx, n ∈ N.
Упражнение 2. Используя метод математической индукции, доказать сле-
дующие утверждения.
1. 1
2
+ 2
2
+ ... + n
2
=
n(n+1)(2n+1)
6
, n ∈ N.
2. Для произвольных положительных чисел x
1
, x
2
, ..., x
n
, удовлетворяю-
щих условию x
1
x
2
...x
n
= 1, выполняется неравенство x
1
+ x
2
+ ... + x
n
≥ n.
3. Любое натуральное число, большее 7, можно представить в виде 3k+5l,
где k, l ∈ N.
4. Неравенство Чебышева. Для любого n ∈ N из неравенств a
1
≤ a
2
≤
... ≤ a
n
, b
1
≤ b
2
≤ ... ≤ b
n
следует, что (a
1
+ a
2
+ ... + a
n
)(b
1
+ b
2
+ ... + b
n
) ≤
≤ n(a
1
b
1
+ a
2
b
2
+ ... + a
n
b
n
).
5. Функция T
n
(x) = cos(n arccos x) на отрезке [0,1] совпадает с некоторым
многочленом степени n (эти многочлены называются полиномами Чебыше-
ва).
3. Вещественные числа
3.1. Построение множества вещественных чисел. Сравнение
вещественных чисел
Мы предполагаем, что читатель знаком с операциями сложения, вычи-
тания, умножения и деления в множестве Q и сравнением рациональных
чисел. Также предполагается известным правило перевода обыкновенной
дроби в десятичную
p
q
= α
0
, α
1
α
2
... посредством бесконечного деления p на q
столбиком. Дробь вида α
0
, α
1
...α
m
β
1
...β
k
β
1
...β
k
... называется периодической
и обозначается α
0
, α
1
...α
m
(β
1
...β
k
). В частности, к периодическим дробям
отнесем дроби вида α
0
, α
1
...α
m
0..., то есть α
n
= 0 для n > m. Такие дроби
назовем периодическими с нулем в периоде. Отметим, что в рассмотренных
представлениях блок α
1
...α
m
может отсутствовать. Легко показать, что при
делении p на q столбиком не может получиться дробь с периодом 9. Следу-
ющее утверждение обобщает и уточняет все сказанное выше.
18
Тогда в силу того, что xi > −1 при всех i = 1, ...., k + 1, имеем
 (1 + x1 )...(1 + xk )(1 + xk+1 ) ≥ (1 + x1 + ... + xk )(1 + xk+1 ) =
                            = 1 + x1 + ... + xk + xk+1 + xk+1 (x1 + ... + xk ). (4)
Так как все числа xi одного знака, то xk+1 (x1 + ... + xk ) > 0. Следовательно,
            (1 + x1 )...(1 + xk )(1 + xk+1 ) ≥ 1 + x1 + ... + xk + xk+1 .
Таким образом, неравенство (3) доказано.
  В случае x1 = ... = xn = x > −1 неравенство (3) принимает вид
                            (1 + x)n ≥ 1 + nx, n ∈ N.
Упражнение 2. Используя метод математической индукции, доказать сле-
дующие утверждения.
    1. 12 + 22 + ... + n2 = n(n+1)(2n+1)
                                   6     , n ∈ N.
    2. Для произвольных положительных чисел x1 , x2 , ..., xn , удовлетворяю-
щих условию x1 x2 ...xn = 1, выполняется неравенство x1 + x2 + ... + xn ≥ n.
    3. Любое натуральное число, большее 7, можно представить в виде 3k+5l,
где k, l ∈ N.
    4. Неравенство Чебышева. Для любого n ∈ N из неравенств a1 ≤ a2 ≤
... ≤ an , b1 ≤ b2 ≤ ... ≤ bn следует, что (a1 + a2 + ... + an )(b1 + b2 + ... + bn ) ≤
≤ n(a1 b1 + a2 b2 + ... + an bn ).
    5. Функция Tn (x) = cos(n arccos x) на отрезке [0,1] совпадает с некоторым
многочленом степени n (эти многочлены называются полиномами Чебыше-
ва).

3.     Вещественные числа
3.1.   Построение множества вещественных чисел. Сравнение
       вещественных чисел
   Мы предполагаем, что читатель знаком с операциями сложения, вычи-
тания, умножения и деления в множестве Q и сравнением рациональных
чисел. Также предполагается известным правило перевода обыкновенной
дроби в десятичную pq = α0 , α1 α2 ... посредством бесконечного деления p на q
столбиком. Дробь вида α0 , α1 ...αm β1 ...βk β1 ...βk ... называется периодической
и обозначается α0 , α1 ...αm (β1 ...βk ). В частности, к периодическим дробям
отнесем дроби вида α0 , α1 ...αm 0..., то есть αn = 0 для n > m. Такие дроби
назовем периодическими с нулем в периоде. Отметим, что в рассмотренных
представлениях блок α1 ...αm может отсутствовать. Легко показать, что при
делении p на q столбиком не может получиться дробь с периодом 9. Следу-
ющее утверждение обобщает и уточняет все сказанное выше.

                                          18

Страницы