Введение в математический анализ. Азизов Т.Я - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Лемма 3.1. Любая несократимая дробь
p
q
представляется единственным
образом в виде бесконечной десятичной периодической дроби α
0
, α
1
α
2
..., не
имеющей в периоде число 9. Причем дробь α
0
, α
1
α
2
..., не имеющая в периоде
число 9, имеет нуль в периоде тогда и только тогда, когда q = 2
s
5
t
для
некоторых s, t ∈ N ∪ {0}.
Нашей ближайшей целью будет рассмотрение метода, который позволяет
естественным образом ввести бесконечные десятичные непериодические
дроби, отталкиваясь от представления рационального числа в виде десятич-
ной дроби. Излагаемый здесь метод был предложен немецким математиком
Р. Дедекиндом и основан на построении сечений во множестве рациональ-
ных чисел.
Определение 3.2. Разбиение множества Q на два непустых подмножества
A и B, удовлетворяющее условиям:
1) A ∪ B = Q;
2) для любых a ∈ A и b ∈ B выполнено неравенство a < b;
называется сечением во множестве Q и обозначается A|B.
Множества A и B называются, соответственно, нижним и верхним клас-
сом разбиения A|B.
Любое сечение A|B относится к одному и только одному из следующих
трех типов:
1) в множестве A есть наибольший элемент, в множестве B нет наимень-
шего элемента;
2) в множестве A нет наибольшего элемента, в множестве B есть наимень-
ший элемент;
3) в множестве A нет наибольшего элемента, в множестве B нет наимень-
шего элемента.
Гипотетически возможная ситуация, когда в
A
есть наибольший элемент
и в B есть наименьший элемент, на практике не может быть реализована.
Действительно, предположим, что r
1
= max A, r
2
= min B. Тогда для
любых a ∈ A и b ∈ B выполнено двойное неравенство a <
r
1
+r
2
2
< b.
Следовательно,
r
1
+r
2
2
/∈ A ∪ B, что противоречит условию 1) в определении
разбиения.
Пример 3.3. Для произвольного r
0
∈ Q положим A = {r ∈ Q : r ≤ r
0
},
B = {r ∈ Q : r > r
0
}. Очевидно, что A|B является сечением первого типа,
r
0
= max A, множество B не имеет наименьшего элемента. Аналогично
можно построить пример сечения второго типа.
Несколько сложнее построить пример сечения третьего типа.
19
Лемма 3.1. Любая несократимая дробь pq представляется единственным
образом в виде бесконечной десятичной периодической дроби α0 , α1 α2 ..., не
имеющей в периоде число 9. Причем дробь α0 , α1 α2 ..., не имеющая в периоде
число 9, имеет нуль в периоде тогда и только тогда, когда q = 2s 5t для
некоторых s, t ∈ N ∪ {0}.
   Нашей ближайшей целью будет рассмотрение метода, который позволяет
естественным образом ввести бесконечные десятичные непериодические
дроби, отталкиваясь от представления рационального числа в виде десятич-
ной дроби. Излагаемый здесь метод был предложен немецким математиком
Р. Дедекиндом и основан на построении сечений во множестве рациональ-
ных чисел.
Определение 3.2. Разбиение множества Q на два непустых подмножества
A и B, удовлетворяющее условиям:
   1) A ∪ B = Q;
   2) для любых a ∈ A и b ∈ B выполнено неравенство a < b;
называется сечением во множестве Q и обозначается A|B.
   Множества A и B называются, соответственно, нижним и верхним клас-
сом разбиения A|B.
   Любое сечение A|B относится к одному и только одному из следующих
трех типов:
   1) в множестве A есть наибольший элемент, в множестве B нет наимень-
шего элемента;
   2) в множестве A нет наибольшего элемента, в множестве B есть наимень-
ший элемент;
   3) в множестве A нет наибольшего элемента, в множестве B нет наимень-
шего элемента.
   Гипотетически возможная ситуация, когда в A есть наибольший элемент
и в B есть наименьший элемент, на практике не может быть реализована.
Действительно, предположим, что r1 = max A, r2 = min B. Тогда для
любых a ∈ A и b ∈ B выполнено двойное неравенство a < r1 +r       2
                                                                    2
                                                                      < b.
                r1 +r2
Следовательно, 2 ∈     / A ∪ B, что противоречит условию 1) в определении
разбиения.
Пример 3.3. Для произвольного r0 ∈ Q положим A = {r ∈ Q : r ≤ r0 },
B = {r ∈ Q : r > r0 }. Очевидно, что A|B является сечением первого типа,
r0 = max A, множество B не имеет наименьшего элемента. Аналогично
можно построить пример сечения второго типа.
  Несколько сложнее построить пример сечения третьего типа.

                                     19

Страницы