Введение в математический анализ. Азизов Т.Я - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Приведенное здесь простое доказательство равенства (1) обладает одним
существенным недостатком. Оно не проясняет смысл этого равенства. Гео-
метрическая интерпретация равенства (1) приведена в решении задачи 126
в [4].
Пример 2.4. Прежде чем получить следующее ниже разложение (2), назы-
ваемое биномом Ньютона, введем обозначения: n ! = 1 ·2 ·... ·n − произведе-
ние всех натуральных чисел от 1 до n (запись n ! читается «n-факториал»),
0! = 1 ;
n
P
k=0
x
n
− сумма чисел x
0
, x
1
, ..., x
n
; C
k
n
=
n!
k!(n −k)!
. Докажем теперь
равенство
(a + b)
n
=
n
X
k=0
C
k
n
a
k
b
n−k
= C
0
n
a
0
b
n
+ ... + C
n
n
a
n
b
0
, a, b ∈ R, n ∈ N. (2)
При n = 1 равенство (2) принимает вид (a + b)
1
= C
0
1
a + C
1
1
b. Последнее
равенство верно, так как C
0
1
= C
1
1
= 1. Предположим, что (2) верно для
n = k. Тогда для n = k + 1 получаем
(a+b)
k+1
= (C
0
k
a
0
b
k
+C
1
k
a
1
b
k−1
+C
2
k
a
2
b
k−2
+...+C
k−1
k
a
k−1
b
1
+C
k
k
a
k
b
0
)(a+b) =
= C
0
k
a
1
b
k
+ C
1
k
a
2
b
k−1
+ ... + C
k−1
k
a
k
b
1
+ C
k
k
a
k+1
b
0
+
+C
0
k
a
0
b
k+1
+ C
1
k
a
1
b
k
+ C
2
k
a
2
b
k−1
+ ... + C
k
k
a
k
b
1
=
= C
0
k
a
0
b
k+1
+(C
0
k
+C
1
k
)a
1
b
k
+(C
1
k
+C
2
k
)a
2
b
k−1
+...+(C
k−1
k
+C
k
k
)a
k
b
1
+C
k
k
a
k+1
b
0
.
Так как для любых k, l ∈ N, k ≤ l выполнены равенства
C
k−1
l
+ C
k
l
=
l!
(k − 1)!(l − k + 1)!
+
l!
k!(l − k)!
=
(l + 1)!
k!(l + 1 − k)!
= C
k
l+1
,
то окончательно получаем
(a + b)
k+1
= C
0
k+1
a
0
b
k+1
+ C
1
k+1
a
1
b
k
+ C
2
k+1
a
2
b
k−1
+ ... + C
k
k+1
a
k
b
1
+ C
k
k+1
a
k+1
b
0
.
Таким образом, равенство (2) полностью доказано.
Пример 2.5. Доказать неравенство Бернулли
(1 + x
1
)...(1 + x
n
) ≥ 1 + x
1
+ ... + x
n
, n ∈ N, (3)
где x
1
, ..., x
n
− числа одного знака, большие −1.
При n = 1 неравенство (3) обращается в верное равенство. Предположим,
что при некотором k ∈ N выполнено неравенство
(1 + x
1
)...(1 + x
k
) ≥ 1 + x
1
+ ... + x
k
.
17
   Приведенное здесь простое доказательство равенства (1) обладает одним
существенным недостатком. Оно не проясняет смысл этого равенства. Гео-
метрическая интерпретация равенства (1) приведена в решении задачи 126
в [4].
Пример 2.4. Прежде чем получить следующее ниже разложение (2), назы-
ваемое биномом Ньютона, введем обозначения: n! = 1 · 2 · ... · n − произведе-
ние всех натуральных чисел от 1 до n (запись n! читается «n-факториал»),
        �n                                                 n!
0! = 1;     xn − сумма чисел x0 , x1 , ..., xn ; Cnk =            . Докажем теперь
        k=0                                            k!(n − k)!
равенство
                 n
                 �
            n
    (a + b) =          Cnk ak bn−k = Cn0 a0 bn + ... + Cnn an b0 ,   a, b ∈ R, n ∈ N.   (2)
                 k=0

При n = 1 равенство (2) принимает вид (a + b)1 = C10 a + C11 b. Последнее
равенство верно, так как C10 = C11 = 1. Предположим, что (2) верно для
n = k. Тогда для n = k + 1 получаем

(a+b)k+1 = (Ck0 a0 bk +Ck1 a1 bk−1 +Ck2 a2 bk−2 +...+Ckk−1 ak−1 b1 +Ckk ak b0 )(a+b) =

                       = Ck0 a1 bk + Ck1 a2 bk−1 + ... + Ckk−1 ak b1 + Ckk ak+1 b0 +
        +Ck0 a0 bk+1 + Ck1 a1 bk + Ck2 a2 bk−1 + ... + Ckk ak b1 =
= Ck0 a0 bk+1 +(Ck0 +Ck1 )a1 bk +(Ck1 +Ck2 )a2 bk−1 +...+(Ckk−1 +Ckk )ak b1 +Ckk ak+1 b0 .
   Так как для любых k, l ∈ N, k ≤ l выполнены равенства
                             l!               l!       (l + 1)!
    Clk−1 + Clk =                       +          =                  k
                                                                   = Cl+1 ,
                    (k − 1)!(l − k + 1)! k!(l − k)! k!(l + 1 − k)!
то окончательно получаем
              0
(a + b)k+1 = Ck+1 a0 bk+1 + Ck+1
                             1
                                 a1 bk + Ck+1
                                          2
                                              a2 bk−1 + ... + Ck+1
                                                               k
                                                                   ak b1 + Ck+1
                                                                            k
                                                                                ak+1 b0 .

Таким образом, равенство (2) полностью доказано.
Пример 2.5. Доказать неравенство Бернулли

                  (1 + x1 )...(1 + xn ) ≥ 1 + x1 + ... + xn , n ∈ N,                    (3)

где x1 , ..., xn − числа одного знака, большие −1.
   При n = 1 неравенство (3) обращается в верное равенство. Предположим,
что при некотором k ∈ N выполнено неравенство

                        (1 + x1 )...(1 + xk ) ≥ 1 + x1 + ... + xk .

                                               17

Страницы