Введение в математический анализ. Азизов Т.Я - 15 стр.

оборот, если из условия ¬ Q можно вывести заключение ¬ P , то из условия P
можно вывести заключение Q. Сформулированное утверждение называют
утверждением о равносильности (эквивалентности) прямой теоремы (P ⇒
 ⇒ Q) и теоремы (¬ Q ⇒¬ P ), противоположной к ее обратной. Доказа-
тельство предложения 2.2 опирается на следующий постулат, называемый
законом исключенного третьего.

  Из двух утверждений A и ¬ A одно выполнено, а другое не выполнено.
Доказательство предложения 2.2. Предположим, что из условия ¬ Q мож-
но получить условие ¬ P . Докажем, что в этом случае из условия P вытекает
условие Q. Итак, пусть:
   1) выполнено условие P ;
   2) из условия ¬ Q можно получить условие ¬ P .
   Предположим, что при этом условие Q не выполнено. Тогда в соот-
ветствии с законом исключенного третьего выполнено условие ¬ Q. Следо-
вательно, из 2) вытекает выполнение условия ¬ P . С учетом условия 1)
получаем, что выполнены оба условия P и ¬ P . Получили противоречие с
законом исключенного третьего. Это означает, что наше предположение о
невыполнении условия Q не верно. Следовательно, условие Q выполнено.
   Обратно, предположим, что из условия P можно получить условие Q.
Тогда рассуждениями, аналогичными приведенным выше, получаем, что из
условия ¬ Q вытекает условие ¬ P . При этом нужно воспользоваться услови-
ем 1) предложения 2.1.
   На утверждение о равносильности опирается известный метод доказа-
тельства от противного, суть которого состоит в том, что для доказательст-
ва сформулированной теоремы P ⇒ Q достаточно доказать теорему ¬ Q ⇒
 ⇒¬ P .

2.3.   Кванторы
   Для сокращения записи формулировок различных утверждений в даль-
нейшем будем пользоваться специальными символами, называемыми «кван-
торы». Знак ∀ (квантор всеобщности) используется для замены выражений
«каждый», «для каждого», «все», «для всех» и т. д., знак ∃ (квантор сущест-
вования) применяется для обозначения выражений «существует», «найдет-
ся» и т. д. Например, фраза «для каждого натурального числа n найдется
натуральное число m, которое больше n и делится на 3» может быть за-
писана в виде: ∀(n ∈ N)∃(m ∈ N)[(m > n) ∧ (m : 3 ∈ N)]. Выражения, по
смыслу относящиеся к ∀ и ∃, будем записывать в круглых скобках после этих

                                    15