Введение в математический анализ. Азизов Т.Я - 16 стр.

символов, заключение утверждения записывается в квадратных скобках в
конце фразы. Пусть некоторое выражение сформулировано при помощи
кванторов.
   Для того чтобы сформулировать отрицание этого выражения, нужно
в исходном выражении: 1) заменить все кванторы ∀ на кванторы ∃ и
наоборот; 2) в квадратных скобках написать отрицание стоявшего там
предложения.
   Например, отрицание приведенного выше утверждения имеет вид:
∃(n ∈ N)∀(m ∈ N)[(m ≤ n) ∨ (m : 3 ∈    / N)] (читается: «существует на-
туральное число n такое, что любое натуральное число m не превосходит n
или не делится на три»).

2.4.   Метод математической индукции
   Предположим, что требуется доказать, что некоторое утверждение P (n),
зависящее от n ∈ N, является верным для всех n ∈ N. В этом случае
можно воспользоваться методом, основанном на принципе математической
индукции, который состоит в следующем.
   1) Доказывается, что утверждение P (1) верно.
   2) Доказывается, что если для некоторого k ∈ N верно утверждение P (k),
то верно и утверждение P (k + 1).
   Пункт 1) называется первым шагом индукции, пункт 2) − индуктивным
переходом. Индуктивный переход 2) может быть сформулирован в следу-
ющей эквивалентной форме.
   2 � ) Доказывается, что если утверждение P (n) верно для для всех n ∈ N,
меньших некоторого k ∈ N, то верно и утверждение P (k + 1).
Пример 2.3. Доказать равенство
                                             � n(n + 1) �2
                     13 + 23 + ... + n3 =                  , n ∈ N.                  (1)
                                                  2
   1) При n = 1 это равенство очевидно.
   2) Предположим, что при некотором k ∈ N выполнено равенство
                                      � k(k + 1) �2
                         13 + 23 + ... + k 3 =      .
                                           2
Тогда с учетом сделанного предположения
                                   � k(k + 1) �2              � (k + 1)((k + 1) + 1) �2
13 + 23 + ... + k 3 + (k + 1)3 =                 + (k + 1)3 =                           .
                                        2                                2
   Следовательно, равенство (1) верно при n = k + 1, а значит, и для всех
n ∈ N.

                                             16