Введение в математический анализ. Азизов Т.Я - 14 стр.

Предложение 2.1. Пусть P и Q − некоторые предложения. Тогда
  1) ¬ (¬ P ) ⇔ P ;
  2) ¬ (P ∧ Q) ⇔¬ P ∨¬ Q;
  3) ¬ (P ∨ Q) ⇔¬ P ∧¬ Q;
  4) ¬ (P ⇒ Q) ⇔ P ∧¬ Q.

2.2.   Прямые и обратные теоремы. Необходимые и достаточные
       условия. Эквивалентность прямой теоремы и теоремы,
       противоположной обратной
     Теоремой называется утверждение, истинность которого установлена
путем доказательства. Мы не останавливаемся на строгом определении до-
казательства, предполагая, что правила построения доказательства понят-
ны в каждом конкретном случае. Большинство теорем формулируются в
виде P ⇒ Q (если P , то Q). Предложение P называется условием теоремы,
предложение Q − заключением теоремы. В теореме P ⇒ Q предложение P
называется достаточным условием для Q, а предложение Q − необходимым
условием для P . Заметим, что не всякое утверждение вида P ⇒ Q является
теоремой. Например: 1) высказывание «если (точка A не лежит на прямой
l), то (через A можно провести единственную прямую, параллельную пря-
мой l)» является аксиомой и, следовательно, не требует доказательства;
2) «если (число n делится на 2), то (число n делится на 4)» − неверное
утверждение, следовательно, оно не может быть доказано, то есть не являет-
ся теоремой; 3) «если (снег белый), то (число 132 делится на 3)» − верное
согласно таблице истинности утверждение, которое не является теоремой,
так как заключение (число 132 делится на 3) не может быть выведено путем
доказательства из условия (снег белый). Для теоремы P ⇒ Q утверждение
Q ⇒ P называется обратным утверждением. Если при этом Q ⇒ P являет-
ся теоремой (то есть заключение P может быть выведено из условия Q), то
Q ⇒ P называется обратной теоремой. Очевидно, что если оба утверждения
P ⇒ Q и Q ⇒ P являются теоремами, то каждая из них является обратной
к другой, то есть P ⇒ Q и Q ⇒ P являются взаимно обратными теоремами.
В этом случае говорят, что условие P необходимо и достаточно для условия
Q. Утверждение ¬ P ⇒¬ Q называется противоположным утверждением к
теореме P ⇒ Q. Если утверждение ¬ P ⇒¬ Q является теоремой, то оно
называется противоположной теоремой к теореме P ⇒ Q. С точки зрения
построения доказательств важным является следующий факт.
Предложение 2.2. Теоремы P ⇒ Q и ¬ Q ⇒¬ P равносильны.
  Это означает, что если из условия P можно путем доказательства полу-
чить заключение Q, то из условия ¬ Q можно получить заключение ¬ P и, на-

                                    14