Введение в математический анализ. Азизов Т.Я - 22 стр.

   Множество R, дополненное символами +∞, −∞, называется расширен-
ным множеством вещественных чисел и обозначается R. Элементы множест-
ва R называются точками. При этом элементы +∞, −∞ и ∞ называются
бесконечно удаленными точками.
   Используя введенные символы сравнения и бесконечности, определим
интервал (a, b), полуинтервалы [a, b), (a, b] и отрезок [a, b] равенствами:

                 (a, b) = {α ∈ R : a < α < b; для a, b ∈ R},

               [a, b) = {α ∈ R : a ≤ α < b; для a ∈ R, b ∈ R},
               (a, b] = {α ∈ R : a < α ≤ b; для a ∈ R, b ∈ R},
                 [a, b] = {α ∈ R : a ≤ α ≤ b; для a, b ∈ R}.
Теорема 3.6. Пусть α, β ∈ R.
  1) Если α < β, то найдется r ∈ Q такое, что α < r < β.
  2) Если для любого положительного ε ∈ Q найдутся рациональные
числа r1 < r2 , удовлетворяющие условиям:

                   r1 ≤ α ≤ r2 , r1 ≤ β ≤ r2 , r2 − r1 ≤ ε,                (5)

то α = β.
Доказательство. 1) Если α, β ∈ Q, то можно взять r = α+β       2 .
   Пусть иррациональные числа α и β порождаются сечениями A 1 |B1 и
A2 |B2 соответственно. Из условия теоремы по правилу б) сравнения чисел
получаем вложение A1 ⊂ A2 . Следовательно, найдется рациональное число
r ∈ A2 \ A1 . Другими словами, r ∈ A2 и r ∈ B1 . По правилу а) сравнения
чисел получаем неравенства r < β и α < r, то есть α < r < β.
   Пусть α ∈ Q и β ∈ R \ Q. Тогда β порождается сечением A|B третьего
типа. Так как α < β, то α ∈ A. Так как A|B является сечением третьего
типа, то в A нет наибольшего элемента. Значит, найдется r ∈ A такое, что
α < r < β.
   Случай α ∈ R \ Q и β ∈ Q рассматривает аналогично.
   2) Предположим, что α < β. Согласно 1) найдется такое r � ∈ Q, что
α < r � < β. Еще раз применив 1), найдем r �� ∈ Q, удовлетворяющее условию
r� < r�� < β. Для ε = r −r     возьмем r1 , r2 из условия теоремы. Отсюда и из
                       ��    �

                          2
неравенства
                            r1 ≤ α < r � < r�� < β ≤ r2
следует, что ε ≥ r2 − r1 > r�� − r� =      2.
                                           ε
                                                Получили противоречие. Таким
образом, α = β.


                                      22