Введение в математический анализ. Азизов Т.Я - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

дроби по заданному сечению первого или третьего типов разным сечениям
соответствуют разные десятичные дроби. Чтобы это доказать, возьмем два
различных сечения A
0
|B
0
, A
00
|B
00
, которые определяют числа α
0
, α
00
, со-
ответственно. По правилам сравнения вещественных чисел получаем, что
числа α
0
и α
00
различны. Предположим, что A
0
|B
0
, A
00
|B
00
определяют одну
и ту же десятичную дробь α
0
, α
1
...α
n
.... Тогда для каждого n ∈ N имеем:
α
0
, α
1
...α
n
≤ α
0
< α
0
, α
1
...α
n
+
1
10
n
,
α
0
, α
1
...α
n
≤ α
00
< α
0
, α
1
...α
n
+
1
10
n
.
Возьмем произвольное рациональное ε > 0 и выберем n ∈ N в этих нера-
венствах так, чтобы выполнялось условие
1
10
n
< ε. По теореме 3.6 получаем
равенство α
0
= α
00
. Следовательно, сечения A
0
|B
0
и A
00
|B
00
совпадают. Полу-
чили противоречие.
Покажем, что описанный метод не приводит к построению периодической
дроби с числом 9 в периоде. Пусть сечение A|B порождает число α. Пред-
положим, что, применив рассмотренный выше алгоритм, мы получили по
сечению A|B дробь α
0
, α
1
...α
n
(9). Это возможно, только если выполнены
условия:
α
0
, α
1
...α
n
9...9
|{z}
k цифр
≤ α < α
0
, α
1
...α
n
9...9
|{z}
k цифр
+
1
10
n+k
, k ∈ N, α
n
6= 9. (7)
Отсюда следует, что
α
0
, α
1
...α
n
9...9
|{z}
k цифр
≤ α ≤ α
0
, α
1
...α
n−1
(α
n
+ 1), k ∈ N.
Кроме того, очевидно, что выполнены неравенства
α
0
, α
1
...α
n
9...9
|{z}
k цифр
≤ α
0
, α
1
...α
n−1
(α
n
+ 1) ≤ α
0
, α
1
...α
n−1
(α
n
+ 1), k ∈ N.
Из последних двух неравенств по замечанию 3.7 (с ε
k
= 10
−(n+k)
) полу-
чаем равенство α = α
0
, α
1
...(α
n
+ 1). Однако, чтобы по числу α получилась
дробь α
0
, α
1
...(α
n
+ 1), на n + 1 шаге алгоритма должно получиться двойное
неравенство
α
0
, α
1
...α
n−1
(α
n
+ 1) ≤ α < α
0
, α
1
...α
n−1
(α
n
+ 1) +
1
10
n
,
что противоречит (7).
24
дроби по заданному сечению первого или третьего типов разным сечениям
соответствуют разные десятичные дроби. Чтобы это доказать, возьмем два
различных сечения A� |B � , A�� |B �� , которые определяют числа α� , α�� , со-
ответственно. По правилам сравнения вещественных чисел получаем, что
числа α� и α�� различны. Предположим, что A� |B � , A�� |B �� определяют одну
и ту же десятичную дробь α0 , α1 ...αn .... Тогда для каждого n ∈ N имеем:
                                                                 1
                        α0 , α1 ...αn ≤ α� < α0 , α1 ...αn +        ,
                                                                10n
                                                       1
                        α0 , α1 ...αn ≤ α�� < α0 , α1 ...αn +
                                                           .
                                                      10n
Возьмем произвольное рациональное ε > 0 и выберем n ∈ N в этих нера-
венствах так, чтобы выполнялось условие 101n < ε. По теореме 3.6 получаем
равенство α� = α�� . Следовательно, сечения A� |B � и A�� |B �� совпадают. Полу-
чили противоречие.
   Покажем, что описанный метод не приводит к построению периодической
дроби с числом 9 в периоде. Пусть сечение A|B порождает число α. Пред-
положим, что, применив рассмотренный выше алгоритм, мы получили по
сечению A|B дробь α0 , α1 ...αn (9). Это возможно, только если выполнены
условия:
                                                       1
      α0 , α1 ...αn ����                      9...9 + n+k , k ∈ N, αn �= 9.
                    9...9 ≤ α < α0 , α1 ...αn ����                                     (7)
                                                     10
                  k цифр                         k цифр

Отсюда следует, что

                           9...9 ≤ α ≤ α0 , α1 ...αn−1 (αn + 1), k ∈ N.
             α0 , α1 ...αn ����
                           k цифр

Кроме того, очевидно, что выполнены неравенства

                 9...9 ≤ α0 , α1 ...αn−1 (αn + 1) ≤ α0 , α1 ...αn−1 (αn + 1), k ∈ N.
   α0 , α1 ...αn ����
               k цифр

   Из последних двух неравенств по замечанию 3.7 (с εk = 10−(n+k) ) полу-
чаем равенство α = α0 , α1 ...(αn + 1). Однако, чтобы по числу α получилась
дробь α0 , α1 ...(αn + 1), на n + 1 шаге алгоритма должно получиться двойное
неравенство
                                                                         1
           α0 , α1 ...αn−1 (αn + 1) ≤ α < α0 , α1 ...αn−1 (αn + 1) +        ,
                                                                        10n
что противоречит (7).


                                            24

Страницы