Введение в математический анализ. Азизов Т.Я - 27 стр.

Определение 3.11. Разбиение множества R на два непустых подмножест-
ва A и B, удовлетворяющее условиям:
   1) A ∪ B = R;
   2) для любых a ∈ A и b ∈ B выполнено неравенство a < b;
называется сечением в множестве R и обозначается A|B.
   Множества A и B называются, соответственно, нижним и верхним клас-
сом разбиения A|B.
  В отличие от сечений в Q сечения в R могут относиться только к первому
или второму типу. Это вытекает из следующей теоремы, принадлежащей
Дедекинду.
Теорема 3.12 (Дедекинд). Пусть A|B − сечение в множестве R. Тогда
выполнено в точности одно из следующих условий: 1) класс A содержит
наибольший элемент; 2) класс B содержит наименьший элемент.

3.2.   Грани числовых множеств
Определение 3.13. Непустое множество M ⊂ R называется ограничен-
ным сверху, если существует c ∈ R такое, что неравенство x ≤ c выполнено
для всех x ∈ M . Каждое из чисел c, фигурирующих в этом определении,
называется верхней гранью множества M . Наименьшая из верхних граней
множества M называется точной верхней гранью множества M .
Определение 3.14. Непустое множество M ⊂ R называется ограничен-
ным снизу, если существует c ∈ R такое, что неравенство x ≥ c выполнено
для всех x ∈ M . Каждое из чисел c, фигурирующих в этом определении,
называется нижней гранью множества M . Наибольшая из нижних граней
множества M называется точной нижней гранью множества M .
Определение 3.15. Непустое множество называется ограниченным, если
оно ограничено и сверху, и снизу.
   Следующая теорема показывает корректность определения точных гра-
ней множества.
Теорема 3.16. Всякое непустое ограниченное сверху (снизу) множество
имеет точную верхнюю (точную нижнюю) грань.
Доказательство. Пусть множество M ограничено сверху. Рассмотрим две
возможные ситуации.
   1) Существует x0 ∈ M такое, что x ≤ x0 для всех x ∈ M . Тогда x0
является верхней гранью множества M . Так как x0 ∈ M , то для любой
другой верхней грани c множества M выполнено неравенство x 0 < c.

                                   27