Введение в математический анализ. Азизов Т.Я - 35 стр.

Определение 3.41. Частным чисел α, β ∈ R, β �= 0 называется такое число
γ ∈ R, что α = βγ. В этом случае будем писать γ = α : β = α/β = αβ .
  Операция нахождения произведения (частного) двух чисел называется
умножением (делением) этих чисел.
Упражнение 9. Доказать, что для α, β ∈ Q определения 3.40 и 3.41 совпа-
дают с обычными правилами умножения и деления рациональных чисел.
Определение 3.42. Пусть α − произвольное вещественное число, отличное
от нуля. Частное 1/α называется числом, обратным числу α, и обозначается
символом α−1 .
Упражнение 10. Показать, что для произвольного α и β �= 0 выполняется
равенство α/β = α(β)−1 . Используя полученное равенство, доказать, что
частное α/β любых двух чисел α, β �= 0 существует и единственно.
Определение 3.43. Для α ∈ R и n ∈ N число αn определяется как
произведение n множителей, каждый из которых равен α. Для α ∈ R и
n ∈ Z, n < −1 число αn определяется равенством αn = (1/α)−n .
   Извлечение корня. Корнем степени n ∈ N, n ≥ 2 из неотрицательного
числа α называется неотрицательное число β такое, что β n = α. Число β
однозначно определяется сечением A|B, где B состоит из всех положитель-
ных рациональных чисел b, удовлетворяющих условию α < b n , A = Q \ B.
                        √
Число β обозначается n α.
   Если α < 0 и n − нечетное число большее
                                        √        и равное трем, то корнем
степени n из α называется число β = − −α.
                                        n


   Степень с вещественным  √   показателем. Пусть α > 0, r = m   n и m, n ∈ Z,
                     m            √
n ≥ 2. Тогда α = α n = α = ( α) .
               r           n m     n  m

   Пусть теперь α > 1 определяется сечением A1 |B1 , β ∈ R\Q определяется
сечением A2 |B2 . Обозначим B0 − множество всех рациональных чисел b0 ,
которые можно представить в виде b0 = bb12 , где bi ∈ Bi , i = 1, 2. Отнесем к
множеству B все рациональные числа b, для каждого из которых найдется
b0 ∈ B0 , удовлетворяющее условию b0 ≤ b. Обозначим A = Q \ B. Сечение
A|B определяет число αβ . Если 0 < α < 1, то α1 > 1 и число αβ определяется
равенством αβ = ( α1 )−β .
   Логарифмы. Пусть α > 0 и α �= 1, γ > 0. Логарифмом числа γ по
основанию α называется число β такое, что α β = γ. Для построенного таким
образом числа β используется обозначение log α γ.
Упражнение 11. Построить сечение, определяющее число log α γ.



                                      35