Введение в математический анализ. Азизов Т.Я - 38 стр.

Предложение 3.45. Если α ∈ R и β > 0, то

                      β < |α| ⇔ β < α или α < −β.

Предложение 3.46 (неравенства треугольника). Для любых α, β ∈ R
выполнены неравенства

                 |α + β| ≤ |α| + |β|, ||α| − |β|| ≤ |α − β|.

Доказательство. Докажем первое неравенство, рассмотрев все возможные
случаи.
   1) Пусть α ≥ 0, β ≥ 0. Тогда |α + β| = α + β = |α| + |β|.
   2) Пусть α < 0, β < 0. Тогда |α + β| = −(α + β) = −α + (−β) = |α| + |β|.
   3) Пусть α ≥ 0, β < 0, α + β ≥ 0. Тогда −β > 0 > β. В силу свойств IV2 ,
IV3 получаем, что β < −β и α + β < α + (−β). Следовательно, |α + β| =
= α + β = |α| + β < |α| + (−β) = |α| + |β|.
   Оставшиеся случаи разбираются аналогично случаю 3).
   Для доказательства второго неравенства дважды используем доказанное
выше неравенство и упражнение 6: |α| ≤ |α − β| + |β|; |β| = | − β| ≤ |α|+
+|α − β|. Из приведенных неравенств следует, что |α| − |β| ≤ |α − β| и |β|−
−|α| ≤ |α − β|. Так как ||α| − |β|| = ±(|α| − |β|), то в любом случае имеем
||α| − |β|| ≤ |α − β|.
  Наконец, определение арифметических операций над вещественными
числами позволяет сформулировать удобные критерии того, что некоторое
число является точной верхней (нижней) гранью некоторого множества.
Теорема 3.47. Для выполнения равенства sup M = α ∈ R необходимо и
достаточно, чтобы были выполнены следующие два условия:
   1) x ≤ α для всех x ∈ M ;
   2) для каждого ε > 0 найдется такое x0 ∈ M , что α − ε < x0 .
Доказательство. Необходимость. Пусть sup M = α ∈ R. Тогда условие 1)
вытекает из того, что α является верхней гранью множества M и опреде-
ления 3.13. Предположим, что условие 2) не имеет места. Это означает, что
найдется такой ε > 0, что для всех x ∈ M выполнено неравенство α − ε ≥ x.
Следовательно, α0 = α−ε является верхней гранью множества M , меньшей
чем α = sup M . Полученное противоречие доказывает справедливость ус-
ловия 2).
   Достаточность. Предположим теперь, что число α удовлетворяет ус-
ловиям 1) и 2). Тогда α является верхней гранью множества M (смотрите
условие 1) и определение 3.13). Предположим, что α �= sup M . Тогда по
теореме 3.16 существует α0 = sup M и α0 < α. Возьмем ε = α−α   2 . Тогда
                                                                 0



                                     38