Введение в математический анализ. Азизов Т.Я - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Предложение 4.18. Пусть c > 0 и a ∈ R. Тогда
lim
n→∞
x
n
= a ⇔ ∀(ε > 0)∃(n
0
∈ N)∀(n ≥ n
0
)[|x
n
− a| < cε].
Формулировку аналогичных утверждений для случая бесконечных пре-
делов мы оставляем читателям.
Рассмотрим теперь последовательности, не имеющие предела.
Замечание 4.19. Из определений 4.12, 4.16 и предложения 4.15 непосредст-
венно получаем эквивалентность следующих утверждений:
1) lim
n→∞
x
n
6= a ∈ R;
2) существует окрестность U(a), вне которой находится бесконечно много
элементов последовательности {x
n
}
∞
n=1
;
3) существует окрестность U
ε
0
(a), вне которой находится бесконечно мно-
го элементов последовательности {x
n
}
∞
n=1
;
4) существует ε
0
> 0 такое, что для любого k ∈ N найдется n
k
≥ k,
удовлетворяющее условию |x
n
k
− a| ≥ ε
0
.
Наконец, используя (9) − (12) и правило построения отрицаний для
выражений, записанных при помощи кванторов, легко записать высказы-
вание lim
n→∞
x
n
6= a в символах математической логики. Например,
lim
n→∞
x
n
6= a ∈ R ⇔ ∃(ε
0
> 0)∀(k ∈ N)∃(n
k
≥ k)[|x
n
k
− a| ≥ ε
0
].
Случаи a = ∞, a = ±∞ оставляем читателям для самостоятельного
рассмотрения.
Определение 4.20. Последовательность, имеющая конечный предел, на-
зывается сходящейся. Последовательность, не имеющая конечного предела,
называется расходящейся.
Пример 4.21. 1) Если x
n
= a для всех n ≥ n
0
, то lim
n→∞
x
n
= a. Действи-
тельно, неравенство |x
n
− a| < ε выполнено для всех n ≥ n
0
.
2) lim
n→∞
1
n
= 0. Возьмем произвольное ε > 0. Если ε ≥ 1, то
1
n
< ε для
всех n ≥ 2. Для ε > 1 имеем
1
ε
< [
1
ε
] + 1. Тогда для n ≥ [
1
ε
] + 1 выполняется
неравенство n >
1
ε
. Следовательно, неравенство
1
n
< ε выполнено для n ≥
≥ [
1
ε
] + 1. Таким образом, для любого ε > 0 неравенство
1
n
< ε выполнено
для n ≥ n
0
= max{2, [
1
ε
] + 1}, что доказывает требуемое равенство.
3) Пусть дана последовательность {x
n
}
∞
n=1
. Если lim
n→∞
x
2
n
= 0, то lim
n→∞
x
n
=
= 0. Возьмем произвольное ε > 0. Тогда для ε
2
> 0 найдется n
0
∈ N такое,
что неравенство x
2
n
< ε
2
выполнено для всех n ≥ n
0
. Это означает, что
неравенство |x
n
| < ε выполнено для всех n ≥ n
0
, то есть lim
n→∞
x
n
= 0.
43
Предложение 4.18. Пусть c > 0 и a ∈ R. Тогда

            lim xn = a ⇔ ∀(ε > 0)∃(n0 ∈ N)∀(n ≥ n0 )[|xn − a| < cε].
          n→∞

   Формулировку аналогичных утверждений для случая бесконечных пре-
делов мы оставляем читателям.
   Рассмотрим теперь последовательности, не имеющие предела.
Замечание 4.19. Из определений 4.12, 4.16 и предложения 4.15 непосредст-
венно получаем эквивалентность следующих утверждений:
   1) lim xn �= a ∈ R;
     n→∞
   2) существует окрестность U (a), вне которой находится бесконечно много
элементов последовательности {xn }∞  n=1 ;
   3) существует окрестность Uε0 (a), вне которой находится бесконечно мно-
го элементов последовательности {xn }∞  n=1 ;
   4) существует ε0 > 0 такое, что для любого k ∈ N найдется nk ≥ k,
удовлетворяющее условию |xnk − a| ≥ ε0 .
   Наконец, используя (9) − (12) и правило построения отрицаний для
выражений, записанных при помощи кванторов, легко записать высказы-
вание lim xn �= a в символах математической логики. Например,
      n→∞

        lim xn �= a ∈ R ⇔ ∃(ε0 > 0)∀(k ∈ N)∃(nk ≥ k)[|xnk − a| ≥ ε0 ].
       n→∞

   Случаи a = ∞, a = ±∞ оставляем читателям для самостоятельного
рассмотрения.
Определение 4.20. Последовательность, имеющая конечный предел, на-
зывается сходящейся. Последовательность, не имеющая конечного предела,
называется расходящейся.
Пример 4.21. 1) Если xn = a для всех n ≥ n0 , то lim xn = a. Действи-
                                                         n→∞
тельно, неравенство |xn − a| < ε выполнено для всех n ≥ n0 .
   2) lim n1 = 0. Возьмем произвольное ε > 0. Если ε ≥ 1, то         1
                                                                     n   < ε для
      n→∞
всех n ≥ 2. Для ε > 1 имеем 1ε < [ 1ε ] + 1. Тогда для n ≥ [ 1ε ] + 1 выполняется
неравенство n > 1ε . Следовательно, неравенство n1 < ε выполнено для n ≥
≥ [ 1ε ] + 1. Таким образом, для любого ε > 0 неравенство n1 < ε выполнено
для n ≥ n0 = max{2, [ 1ε ] + 1}, что доказывает требуемое равенство.
                                                               2
   3) Пусть дана последовательность {xn }∞    n=1 . Если lim xn = 0, то lim xn =
                                                       n→∞               n→∞
                                                  2
= 0. Возьмем произвольное ε > 0. Тогда для ε > 0 найдется n0 ∈ N такое,
что неравенство x2n < ε2 выполнено для всех n ≥ n0 . Это означает, что
неравенство |xn | < ε выполнено для всех n ≥ n0 , то есть lim xn = 0.
                                                             n→∞

                                       43

Страницы