Введение в математический анализ. Азизов Т.Я - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Отсюда и из предложения 4.18 следуют равенства lim
n→∞
x
n
y
n
=
a
b
=
lim
n→∞
x
n
lim
n→∞
y
n
.
Сформулируем в виде упражнений несколько фактов, дополняющих тео-
рему 4.28.
Упражнение 13. Показать, что если последовательность {x
n
}
∞
n=1
сходится,
а последовательность {y
n
}
∞
n=1
расходится, то {x
n
+ y
n
}
∞
n=1
− расходящаяся
последовательность.
Упражнение 14. Показать, что если последовательность {x
n
}
∞
n=1
сходится
к a 6= 0, а последовательность {y
n
}
∞
n=1
расходится, то {x
n
y
n
}
∞
n=1
− расходя-
щаяся последовательность.
Упражнение 15. Показать, что если {x
n
}
∞
n=1
и {y
n
}
∞
n=1
− расходящиеся
последовательности, то последовательности {x
n
+ y
n
}
∞
n=1
и {x
n
y
n
}
∞
n=1
могут
быть как сходящимися, так и расходящимися.
Упражнение 16. Если lim
n→∞
x
n
= 0 и {y
n
}
∞
n=1
− ограниченная последователь-
ность, то lim
n→∞
x
n
y
n
= 0.
Упражнение 17. Если lim
n→∞
x
n
= ∞ и x
n
6= 0 для всех n ∈ N, то lim
n→∞
1
x
n
= 0.
Пример 4.27. Вычислить lim
n→∞
3n
2
+ n − 4
2n
2
+ 4n + 1
. Разделим числитель и знаме-
натель на n
2
и воспользуемся теоремой 4.26.
lim
n→∞
3n
2
+ n − 4
2n
2
+ 4n + 1
= lim
n→∞
3 + 1/n − 4/n
2
2 + 4/n + 1/n
2
=
lim
n→∞
(3 + 1/n − 4/n
2
)
lim
n→∞
(2 + 4/n + 1/n
2
)
=
=
3 + lim
n→∞
1/n − 4 lim
n→∞
1/n
2
2 + 4 lim
n→∞
1/n + lim
n→∞
1/n
2
=
3
2
.
Теперь перейдем к изучению свойств пределов, связанных с неравенст-
вами. Во всех следующих ниже теоремах этого раздела предполагается, что
x
n
, y
n
, z
n
∈ R для всех n ∈ N.
Теорема 4.28. Пусть n
0
∈ N и выполнены условия:
x
n
≤ y
n
≤ z
n
для всех n ≥ n
0
,
lim
n→∞
x
n
= lim
n→∞
z
n
= a ∈ R.
Тогда имеет место равенство lim
n→∞
y
n
= a.
46
                                                     xn     lim xn
                                                         a n→∞
  Отсюда и из предложения 4.18 следуют равенства lim    = =        .
                                                 n→∞ yn  b  lim yn
                                                                     n→∞


  Сформулируем в виде упражнений несколько фактов, дополняющих тео-
рему 4.28.
Упражнение 13. Показать, что если последовательность {x n }∞  n=1 сходится,
а последовательность {yn }n=1 расходится, то {xn + yn }n=1 − расходящаяся
                          ∞                            ∞

последовательность.
Упражнение 14. Показать, что если последовательность {x n }∞     n=1 сходится
к a �= 0, а последовательность {yn }n=1 расходится, то {xn yn }n=1 − расходя-
                                    ∞                          ∞

щаяся последовательность.
Упражнение 15. Показать, что если {xn }∞ n=1 и {yn }n=1 − расходящиеся
                                                      ∞

                                                     n=1 и {xn yn }n=1 могут
последовательности, то последовательности {x n + yn }∞             ∞

быть как сходящимися, так и расходящимися.
Упражнение 16. Если lim xn = 0 и {yn }∞
                                      n=1 − ограниченная последователь-
                       n→∞
ность, то lim xn yn = 0.
         n→∞
                                                                    1
Упражнение 17. Если lim xn = ∞ и xn �= 0 для всех n ∈ N, то lim        = 0.
                       n→∞                                      n→∞ xn

                               3n2 + n − 4
Пример 4.27. Вычислить lim                  . Разделим числитель и знаме-
                          n→∞ 2n2 + 4n + 1
натель на n2 и воспользуемся теоремой 4.26.

         3n2 + n − 4       3 + 1/n − 4/n2    lim (3 + 1/n − 4/n2 )
                                            n→∞
     lim             = lim                =                        =
    n→∞ 2n2 + 4n + 1   n→∞ 2 + 4/n + 1/n2    lim (2 + 4/n + 1/n2 )
                                                    n→∞

                         3 + lim 1/n − 4 lim 1/n2   3
                             n→∞              n→∞
                     =                            =   .
                         2 + 4 lim 1/n + lim 1/n2   2
                                n→∞           n→∞

    Теперь перейдем к изучению свойств пределов, связанных с неравенст-
вами. Во всех следующих ниже теоремах этого раздела предполагается, что
xn , yn , zn ∈ R для всех n ∈ N.
Теорема 4.28. Пусть n� ∈ N и выполнены условия:

                         xn ≤ yn ≤ zn для всех n ≥ n� ,

                           lim xn = lim zn = a ∈ R.
                          n→∞         n→∞
Тогда имеет место равенство lim yn = a.
                                   n→∞

                                         46

Страницы