Введение в математический анализ. Азизов Т.Я - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Теорема 4.32. Пусть
lim
n→∞
x
n
= a ∈ R, lim
n→∞
y
n
= b ∈ R,
и существует такое n
0
∈ N, что
x
n
≤ y
n
(x
n
≥ y
n
) для всех n ≥ n
0
.
Тогда имеет место неравенство a ≤ b (a ≥ b).
Доказательство. Пусть x
n
≥ y
n
для всех n ≥ n
0
. Предположим, что a < b.
Тогда из теоремы 4.30 вытекает выполнение неравенства x
n
< y
n
для всех n,
больших некоторого n
0
∈ N. Полученное противоречие доказывает теорему.
Следствие 4.33. Пусть lim
n→∞
x
n
= a и n
0
∈ N. Если для некоторого b ∈ R
и всех n ≥ n
0
выполнено условие
x
n
≤ b (x
n
≥ b),
то имеет место неравенство a ≤ b (a ≥ b).
Доказательство. Достаточно взять последовательность y
n
= b, n ∈ N и
применить теорему 4.32.
Пример 4.34. Пусть предел последовательности {x
n
}
∞
n=1
равен +∞ и не-
равенство x
n
> 1 выполнено для всех n ∈ N. Вычислим lim
n→∞
x
n
[x
n
]
.
Из неравенства x
n
− 1 ≤ [x
n
], условия lim
n→∞
x
n
= +∞ и теоремы 4.29
следует, что lim
n→∞
[x
n
] = +∞. Таким образом, lim
n→∞
1
[x
n
]
= 0 (см. упражнение
17).
Далее очевидным образом получаем, что
1 ≤
x
n
[x
n
]
=
[x
n
] + {x
n
}
[x
n
]
≤ 1 +
{x
n
}
[x
n
]
, n ∈ N. (13)
Из оценки 0 ≤
{x
n
}
[x
n
]
≤
1
[x
n
]
, условия lim
n→∞
1
[x
n
]
= 0 и теоремы 4.28 получаем
равенство lim
n→∞
x
n
[x
n
]
= 0. Теперь, применив теорему 4.28 к (13), находим, что
lim
n→∞
x
n
[x
n
]
= 1.
Пример 4.35. Доказать, что lim
n→∞
n
√
a = 1 для любого a > 0.
Пусть a > 1. Обозначим ε
n
=
n
√
a − 1 > 0. Тогда, воспользовавшись
разложением бинома Ньютона и отбросив все слагаемые, кроме первых
48
Теорема 4.32. Пусть

                          lim xn = a ∈ R, lim yn = b ∈ R,
                      n→∞                          n→∞

и существует такое n� ∈ N, что

                     xn ≤ yn (xn ≥ yn ) для всех n ≥ n� .

Тогда имеет место неравенство a ≤ b (a ≥ b).
Доказательство. Пусть xn ≥ yn для всех n ≥ n� . Предположим, что a < b.
Тогда из теоремы 4.30 вытекает выполнение неравенства x n < yn для всех n,
больших некоторого n0 ∈ N. Полученное противоречие доказывает теорему.


Следствие 4.33. Пусть lim xn = a и n� ∈ N. Если для некоторого b ∈ R
                                n→∞
и всех n ≥ n� выполнено условие

                                        xn ≤ b (xn ≥ b),

то имеет место неравенство a ≤ b (a ≥ b).
Доказательство. Достаточно взять последовательность y n = b, n ∈ N и
применить теорему 4.32.
Пример 4.34. Пусть предел последовательности {xn }∞n=1 равен +∞ и не-
равенство xn > 1 выполнено для всех n ∈ N. Вычислим lim [xxnn ] .
                                                                      n→∞
   Из неравенства xn − 1 ≤ [xn ], условия lim xn = +∞ и теоремы 4.29
                                          n→∞
                                                 1
следует, что lim [xn ] = +∞. Таким образом, lim       = 0 (см. упражнение
             n→∞                            n→∞ [xn ]
17).
   Далее очевидным образом получаем, что
                      xn     [xn ] + {xn }     {xn }
                1≤         =               ≤1+       , n ∈ N.                       (13)
                     [xn ]        [xn ]        [xn ]
                  {xn }         1                       1
  Из оценки 0 ≤   [xn ]   ≤   [xn ] ,   условия lim          = 0 и теоремы 4.28 получаем
                                                   n→∞ n ]
                                                      [x
равенство lim [xxnn ] = 0. Теперь, применив теорему 4.28 к (13), находим, что
            n→∞
     xn
lim [xn ] = 1.
n→∞
                                               √
Пример 4.35. Доказать, что lim  a = 1 для любого a > 0.
                                               n

                               √         n→∞
   Пусть a > 1. Обозначим εn = n a − 1 > 0. Тогда, воспользовавшись
разложением бинома Ньютона и отбросив все слагаемые, кроме первых

                                               48

Страницы