Введение в математический анализ. Азизов Т.Я - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Теперь, используя теорему 4.26, получаем для λ
1
= 2 +
√
3, λ
2
= 2 −
√
3
lim
n→∞
x
n
x
n−1
= lim
n→∞
λ
n
1
− λ
n
2
λ
n−1
1
− λ
n−1
2
= lim
n→∞
λ
1
1 −
¡
λ
2
λ
1
¢
n
1 −
¡
λ
2
λ
1
¢
n−1
= λ
1
= 2 +
√
3.
Замечание 4.39. При вычислении пределов последовательностей, заданных
рекуррентным соотношением x
n
= ax
n−1
+ bx
n−2
, полезно использовать
следующие соображения. Обозначим λ
1
, λ
2
− корни уравнения λ
2
= aλ + b.
Тогда
x
n
= C
1
λ
n
1
+ C
2
λ
n
2
, если λ
1
6= λ
2
;
x
n
= C
1
λ
n
+ C
2
nλ
n
, если λ = λ
1
= λ
2
.
Коэффициенты C
1
и C
2
определяются по заданным двум первым членам
x
1
и x
2
. Представленные формулы можно доказывать в каждом конкретном
случае, используя метод математической индукции. Общий подход к их
доказательству можно найти в [4].
Упражнение 18. Определить константы C
1
и C
2
для последовательности
Фибоначчи: x
1
= x
2
= 1, x
n+1
= x
n
+ x
n−1
, n ∈ N. Вычислить величину
золотого сечения, т. е. lim
n→∞
x
n
x
n+1
.
Упражнение 19. Доказать, что все элементы последовательности
x
n
=
1
2
√
3
((2 +
√
3)
n
− (2 −
√
3)
n
), n ∈ N
являются натуральными числами.
4.3. Монотонные последовательности. Число e
В начале этого раздела рассмотрим теорему, описывающую основное
свойство монотонных последовательностей.
Теорема 4.40. Произвольная ограниченная сверху неубывающая последо-
вательность {x
n
}
∞
n=1
имеет предел, равный sup{x
n
: n ∈ N} < +∞.
Произвольная ограниченная снизу невозрастающая последовательность
{x
n
}
∞
n=1
имеет предел, равный inf{x
n
: n ∈ N} > −∞.
Доказательство. Пусть {x
n
}
∞
n
=1
− неубывающая ограниченная сверху по-
следовательность. Обозначим a = sup{x
n
: n ∈ R}. Так как {x
n
: n ∈ N} −
ограниченное сверху множество, то a < ∞. Следовательно, по теореме 3.47
x
n
≤ a для n ∈ N и для любого ε > 0 найдется элемент x
n
0
∈ {x
n
: n ∈ N},
удовлетворяющий условию x
n
0
> a−ε. Так как последовательность {x
n
}
∞
n=1
не убывает, то для всех n ≥ n
0
выполнено условие
a − ε < x
n
0
≤ x
n
≤ a < a + ε.
50
                                                           √           √
Теперь, используя теорему 4.26, получаем для λ1 = 2 + 3, λ2 = 2 − 3
                                                 � �n
       xn             λn1 − λn2              1 − λλ21                  √
   lim      = lim n−1            =  lim λ 1     �    �     = λ 1 = 2 +   3.
  n→∞ xn−1     n→∞ λ
                     1    − λn−1
                              2
                                   n→∞      1 − λλ21
                                                       n−1


Замечание 4.39. При вычислении пределов последовательностей, заданных
рекуррентным соотношением xn = axn−1 + bxn−2 , полезно использовать
следующие соображения. Обозначим λ1 , λ2 − корни уравнения λ2 = aλ + b.
Тогда
                   xn = C1 λn1 + C2 λn2 , если λ1 �= λ2 ;
                  xn = C1 λn + C2 nλn , если λ = λ1 = λ2 .
   Коэффициенты C1 и C2 определяются по заданным двум первым членам
x1 и x2 . Представленные формулы можно доказывать в каждом конкретном
случае, используя метод математической индукции. Общий подход к их
доказательству можно найти в [4].
Упражнение 18. Определить константы C1 и C2 для последовательности
Фибоначчи: x1 = x2 = 1, xn+1 = xn + xn−1 , n ∈ N. Вычислить величину
золотого сечения, т. е. lim xxn+1
                               n
                                  .
                       n→∞
Упражнение 19. Доказать, что все элементы последовательности
                     1       √           √
               xn = √ ((2 + 3)n − (2 − 3)n ), n ∈ N
                   2 3
являются натуральными числами.

4.3.   Монотонные последовательности. Число e
    В начале этого раздела рассмотрим теорему, описывающую основное
свойство монотонных последовательностей.
Теорема 4.40. Произвольная ограниченная сверху неубывающая последо-
вательность {xn }∞n=1 имеет предел, равный sup{xn : n ∈ N} < +∞.
  Произвольная ограниченная снизу невозрастающая последовательность
     n=1 имеет предел, равный inf{xn : n ∈ N} > −∞.
{xn }∞
Доказательство. Пусть {xn }∞ n=1 − неубывающая ограниченная сверху по-
следовательность. Обозначим a = sup{xn : n ∈ R}. Так как {xn : n ∈ N} −
ограниченное сверху множество, то a < ∞. Следовательно, по теореме 3.47
xn ≤ a для n ∈ N и для любого ε > 0 найдется элемент xn0 ∈ {xn : n ∈ N},
удовлетворяющий условию xn0 > a − ε. Так как последовательность {xn }∞
                                                                     n=1
не убывает, то для всех n ≥ n0 выполнено условие
                       a − ε < xn0 ≤ xn ≤ a < a + ε.

                                     50

Страницы