Введение в математический анализ. Азизов Т.Я - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Таким образом, x
n+1
≤ x
n
для n ≥ 2. Значит, последовательность {x
n
}
∞
n=1
является невозрастающей, начиная с n = 2.
Таким образом, по теореме 4.40 существует a
0
= lim
n→∞
x
n
. Применив к
правой части равенства x
n+1
=
1
2
(x
n
+
a
x
n
) теорему 4.26 и учитывая, что
lim
n→∞
x
n
= lim
n→∞
x
n+1
= a
0
6= 0, получаем равенство a
0
=
1
2
(a
0
+
a
a
0
). Отсюда
следует, что a
0
= ±
√
a. Так как x
n
> 0 для каждого n ∈ N, то по следствию
4.33 получаем, что lim
n→∞
x
n
≥ 0. Значит, lim
n→∞
x
n
=
√
a.
Пример 4.43. Число e. Последовательность
x
n
= (1 +
1
n
)
n
, n ∈ N
имеет конечный предел.
Из неравенства Бернулли (смотри пример 2.5) следует, что
¡
1 +
1
n
¢
n
> 1 + n
1
n
= 2, n ∈ N. (15)
С другой стороны, согласно биному Ньютона (смотри равенство (2))
¡
1 +
1
n
¢
n
= 1 +
1
n
C
1
n
+
1
n
2
C
2
n
+ ... +
1
n
n
C
n
n
, n ∈ N. (16)
Так как для 1 ≤ k ≤ n выполнены соотношения
1
n
k
C
k
n
=
n!
n
k
k!(n − k)!
=
1
k!
n
n
n − 1
n
...
n − k + 1
n
<
1
k!
<
1
2
k−1
,
то из (16) получаем оценку
¡
1 +
1
n
¢
n
< 1 + 1 +
1
2
+ ... +
1
2
n−1
= 1 +
1 −
1
2
n
1 −
1
2
< 3. (17)
Окончательно из (15) и (17) получаем
2 <
¡
1 +
1
n
¢
n
< 3 для всех n ∈ N. (18)
Обозначим y
n
= (1 +
1
n
)
n+1
= x
n
(1 +
1
n
). Из доказанного в (15) следует,
что y
n
> 2 для любого n ∈ N. Далее для n > 2 имеем
y
n−1
y
n
=
(1 +
1
n−1
)
n
(1 +
1
n
)
n+1
=
n
2n
(n
2
− 1)
n
n
n + 1
=
¡
1 +
1
n
2
− 1
¢
n
n
n + 1
.
52
Таким образом, xn+1 ≤ xn для n ≥ 2. Значит, последовательность {xn }∞ n=1
является невозрастающей, начиная с n = 2.
    Таким образом, по теореме 4.40 существует a0 = lim xn . Применив к
                                                     n→∞
                                 1       a
правой части равенства xn+1 = (xn + ) теорему 4.26 и учитывая, что
                                 2      xn
                                                      1      a
 lim xn = lim xn+1 = a0 �= 0, получаем равенство a0 = (a0 + ). Отсюда
n→∞       n→∞
                   √                                  2      a0
следует, что a0 = ± a. Так как xn > 0 для каждого n ∈ N, то по следствию
                                                √
4.33 получаем, что lim xn ≥ 0. Значит, lim xn = a.
                      n→∞                       n→∞

Пример 4.43. Число e. Последовательность
                                           1
                                  xn = (1 + )n , n ∈ N
                                           n
имеет конечный предел.
  Из неравенства Бернулли (смотри пример 2.5) следует, что
                         �        1 �n        1
                             1+        > 1 + n = 2, n ∈ N.             (15)
                                  n           n
С другой стороны, согласно биному Ньютона (смотри равенство (2))
            �        1 �n      1      1             1
                1+        = 1 + Cn1 + 2 Cn2 + ... + n Cnn , n ∈ N.     (16)
                     n         n     n             n
Так как для 1 ≤ k ≤ n выполнены соотношения
        1 k        n!       1 nn − 1 n − k + 1   1   1
          C =             =         ...        <   <     ,
        nk n nk k!(n − k)! k! n n        n       k! 2k−1
то из (16) получаем оценку
           �      1 �n          1         1        1 − 21n
               1+      < 1 + 1 + + ... + n−1 = 1 +         < 3.        (17)
                  n             2       2          1 − 12
Окончательно из (15) и (17) получаем
                         �   1 �n
                       2< 1+      < 3 для всех n ∈ N.                  (18)
                             n
                        1              1
  Обозначим yn = (1 + )n+1 = xn (1 + ). Из доказанного в (15) следует,
                        n             n
что yn > 2 для любого n ∈ N. Далее для n > 2 имеем
                       1 n
        yn−1   (1 + n−1  )       n2n      n     �        1 �n n
             =              =                 =   1 +              .
         yn    (1 + n1 )n+1   (n2 − 1)n n + 1         n2 − 1 n + 1

                                           52

Страницы