Введение в математический анализ. Азизов Т.Я - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Применив к (1 +
1
n
2
− 1
)
n
неравенство Бернулли, получаем
y
n−1
y
n
≥
¡
1 +
n
n
2
− 1
¢
n
n + 1
>
¡
1 +
1
n
¢
n
n + 1
= 1.
Это означает, что y
n−1
> y
n
для всех n > 2, то есть последовательность
{y
n
}
n=∞
1
убывает, начиная с n = 2. Так как {y
n
}
n=∞
1
ограничена снизу, то по
теореме 4.40 существует конечный предел lim
n→∞
y
n
. Из теоремы 4.26, равенст-
ва x
n
= y
n
(1 +
1
n
)
−1
и примера 4.21 вытекает равенство lim
n→∞
y
n
= lim
n→∞
x
n
.
Этот общий предел двух последовательностей принято обозначать сим-
волом e. Таким образом, lim
n→∞
(1 +
1
n
)
n
= e. Из (18) согласно следствию 4.33
имеем оценку 2 < e < 3.
4.4. Принцип вложенных отрезков.
Лемма Гейне − Бореля − Лебега
Определение 4.44. Множество {[a
n
, b
n
]}
∞
n=1
называется системой вложен-
ных отрезков, если [a
n+1
, b
n+1
] ⊆ [a
n
, b
n
] для всех n ∈ N.
Теорема 4.45. Пусть дана система вложенных отрезков {[a
n
, b
n
]}
∞
n=1
.
Тогда
∞
T
n=1
[a
n
, b
n
] = [a, b], где a = sup{a
n
: n ∈ N} ≤ b = inf{b
n
: n ∈ N}.
Доказательство. Из определения 4.44 и условия теоремы следует выполне-
ние условия
a
n
≤ a
m
, b
n
≥ b
m
при n ≤ m. (19)
Покажем, что
a
n
< b
m
для любых n, m ∈ N. (20)
Действительно, если n < m, то из (19) получаем, что a
n
≤ a
m
< b
m
.
Случай n > m рассматривается аналогично. Для n = m неравенство (20)
очевидно. Из (20) вытекает, что множество {a
n
: n ∈ N} ограничено сверху,
а множество {b
n
: n ∈ N} ограничено снизу. Поэтому существуют a =
= sup{a
n
: n ∈ N} < +∞ и b = inf{b
n
: n ∈ N} > −∞. Так как
любое b
n
является верхней гранью множества {a
n
: n ∈ N}, то a < b
n
для всех n ∈ N. Следовательно, a является нижней гранью множества
{b
n
: n ∈ N} и по определению точной нижней грани получаем, что a ≤
≤ b. Таким образом, a
n
< a ≤ b < b
n
для всех n ∈ N. Следовательно,
[a, b] ⊆
∞
T
n=1
[a
n
, b
n
]. Возьмем теперь ξ ∈
∞
T
n=1
[a
n
, b
n
]. Это означает, что для всех
n ∈ N выполнены неравенства a
n
≤ ξ ≤ b
n
. Отсюда и из определения
53
                      1
Применив к (1 +           )n неравенство Бернулли, получаем
                   n2 −1
               yn−1     �       n � n       �    1� n
                      ≥ 1+ 2              > 1+           = 1.
                yn           n −1 n+1           n n+1
Это означает, что yn−1 > yn для всех n > 2, то есть последовательность
{yn }n=∞
     1   убывает, начиная с n = 2. Так как {yn }n=∞
                                                1   ограничена снизу, то по
теореме 4.40 существует конечный предел lim yn . Из теоремы 4.26, равенст-
                                          n→∞
               1 −1
ва xn = yn (1 + ) и примера 4.21 вытекает равенство lim yn = lim xn .
               n                                        n→∞      n→∞
   Этот общий предел двух последовательностей принято обозначать сим-
                                   1
волом e. Таким образом, lim (1 + )n = e. Из (18) согласно следствию 4.33
                         n→∞      n
имеем оценку 2 < e < 3.

4.4.   Принцип вложенных отрезков.
       Лемма Гейне − Бореля − Лебега
Определение 4.44. Множество {[an , bn ]}∞       n=1 называется системой вложен-
ных отрезков, если [an+1 , bn+1 ] ⊆ [an , bn ] для всех n ∈ N.
Теорема 4.45. Пусть дана система вложенных отрезков {[an , bn ]}∞           n=1 .
      �
      ∞
Тогда   [an , bn ] = [a, b], где a = sup{an : n ∈ N} ≤ b = inf{bn : n ∈ N}.
       n=1

Доказательство. Из определения 4.44 и условия теоремы следует выполне-
ние условия
                    an ≤ am , bn ≥ bm при n ≤ m.                  (19)
Покажем, что
                         an < bm для любых n, m ∈ N.                         (20)
Действительно, если n < m, то из (19) получаем, что an ≤ am < bm .
Случай n > m рассматривается аналогично. Для n = m неравенство (20)
очевидно. Из (20) вытекает, что множество {an : n ∈ N} ограничено сверху,
а множество {bn : n ∈ N} ограничено снизу. Поэтому существуют a =
 = sup{an : n ∈ N} < +∞ и b = inf{bn : n ∈ N} > −∞. Так как
любое bn является верхней гранью множества {an : n ∈ N}, то a < bn
для всех n ∈ N. Следовательно, a является нижней гранью множества
{bn : n ∈ N} и по определению точной нижней грани получаем, что a ≤
≤ b. Таким образом, an < a ≤ b < bn для всех n ∈ N. Следовательно,
         �
         ∞                                �
                                          ∞
[a, b] ⊆   [an , bn ]. Возьмем теперь ξ ∈   [an , bn ]. Это означает, что для всех
        n=1                              n=1
n ∈ N выполнены неравенства an ≤ ξ ≤ bn . Отсюда и из определения

                                       53

Страницы