Введение в математический анализ. Азизов Т.Я - 55 стр.

            n=1 , каждый из которых не допускает покрытия конечной системой
{[an , bn ]}∞
интервалов из множества S и длины которых bn −an = b−a   2n стремятся к 0. По
теореме 4.46 существует единственная точка ξ ∈ [an , bn ] для всех n ∈ N. Так
как ξ ∈ [a, b], то по условию (21) найдется такой (α, β) ∈ S, что ξ ∈ (α, β).
Обозначим δ = min{ξ − α, β − ξ}. Так как lim (bn − an ) = 0, то существует
                                                  n→∞
n0 ∈ N, для которого bn0 − an0 < δ. Отсюда следует, что [an0 , bn0 ] ⊂ (α, β) и
(α, β) ∈ S. Таким образом, [an0 , bn0 ] допускает покрытиe конечной системой
S0 , состоящей из интервалов из множества S (в действительности, S 0 состо-
ит из одного интервала (α, β)). Получили противоречие с выбором отрезка
[an0 , bn0 ]. Следовательно, система S содержит конечное подпокрытие.
Замечание 4.49. Существует система интервалов S, являющаяся бесконеч-
ным покрытием интервала (a, b), которая не содержит конечное подпокры-
тие. Например, для интервала (0, 3) возьмем покрытие S, состоящее из всех
интервалов вида ( n1 , 3− n1 ), n ∈ N. Так как ( n1 , 3− n1 ) ⊂ ( m1 , 3− m1 ) при n < m,
то любое конечное подмножество множества S состоит из единственного
отрезка вида ( n1 , 3 − n1 ), а значит, не может являться покрытием интервала
(0, 3).

4.5.   Подпоследовательности. Частичные пределы
Определение 4.50. Точка a ∈ R ∪ {∞} называется частичным пределом
последовательности {xn }∞  n=1 , если существует такая подпоследовательность
{xnk }k=1 , что lim xnk = a.
      ∞
                n→∞

Пример 4.51. Последовательность xn = (−1)n , n ∈ N имеет два частич-
ных предела 1 и −1. Действительно, с одной стороны, для подпоследова-
                 k=1 и {x2k+1 }k=1 имеем lim x2k = 1 и lim x2k+1 = −1.
тельностей {x2k }∞             ∞
                                                 k→∞                k→∞
Предположим, что найдется подпоследовательность {x nk }∞    k=1 , предел кото-
                                 1
рой равен a ∈ R. Тогда для ε = 2 найдется такое k0 ∈ N, что неравенство
|xnk − a| < 12 выполнено для всех k ≥ k0 . Так как |xn | = 1, то a = ±1. Это
означает, что последовательность xn = (−1)n , n ∈ N не имеет частичных
пределов, кроме 1 и −1.
   Обозначим F(xn ) − множество всех частичных пределов последователь-
           n=1 . В этом разделе будет изучена структура этого множества.
ности {xn }∞
В случае, когда {xn }∞n=1 имеет предел a ∈ R, множество F(xn ) состоит из
единственного элемента a. Это вытекает из следующей теоремы.
Теорема 4.52. Если lim xn = a ∈ R, то lim xnk = a для любой подпо-
                          n→∞                       n→∞
                       k=1 .
следовательности {xnk }∞

                                           55