Введение в математический анализ. Азизов Т.Я - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

ограничена. Заметим, что последовательность {x
n
}
∞
n=1
содержит бесконечно
много элементов, модуль которых больше, чем 2 (в противном случае по-
следовательность {x
n
}
∞
n=1
была бы ограничена). Поэтому можно выбрать
элемент x
n
2
, у которого |x
n
2
| > 2 и n
2
> n
1
. Продолжая этот процесс,
построим подпоследовательность {x
n
k
}
∞
k=1
, элементы которой удовлетворя-
ют условию x
n
k
> k для всех k ∈ N. Отсюда и из теоремы 4.29 следует, что
lim
k→∞
x
n
k
= ∞.
Совершенно аналогично можно доказать следующую теорему.
Теорема 4.55. Любая последовательность, не ограниченная сверху (сни-
зу), содержит подпоследовательность, сходящуюся к +∞ (−∞).
Лемма 4.56. Пусть M − произвольное подмножество множества R.
Следующие условия эквивалентны:
1) точка a ∈ R является предельной точкой множества M;
2) существует последовательность {x
n
}
∞
n=1
⊂ M такая, что выполне-
но равенство lim x
n
= a.
Теорема 4.57. Множество F(x
n
) всех частичных пределов любой последо-
вательности {x
n
}
∞
n=1
замкнуто.
Доказательство. Пусть a
0
∈ F(x
n
). Покажем, что a
0
∈ F(x
n
). Предпо-
ложим противное. Это означает, что a
0
является предельной точкой мно-
жества F(x
n
). Тогда существует последовательность {a
m
}
∞
m=1
элементов из
множества F(x
n
), сходящаяся к a
0
. Для каждого элемента a
m
∈ F(x
n
) най-
дется подпоследовательность {x
(m)
n
k
}
∞
k=1
, сходящаяся к a
m
. Это означает, что
для любого m ∈ N можно выбрать такое k
m
∈ N, что |x
(m)
n
k
m
− a
m
| <
1
m
(другими словами, −
1
m
< x
(m)
n
k
m
− a
m
<
1
m
).
Вначале предположим, что a
0
∈ R. В этом случае для каждого m ∈ N
выполнены неравенства 0 ≤ |x
(m)
n
k
m
−a
0
| ≤ |x
(m)
n
k
m
−a
m
|+|a
m
−a
0
| <
1
m
+|a
m
−a
0
|.
По теореме 4.28 получаем, что lim
m→∞
x
(m)
n
k
m
= a
0
, то есть a
0
∈ F(x
n
).
Пусть теперь a
0
= +∞. Тогда x
(m)
n
k
m
= x
(m)
n
k
m
− a
m
+ a
m
> a
m
−
1
m
. Отсюда
по теореме 4.29 следует, что lim
m→∞
x
(m)
n
k
m
= +∞. Случай a
0
= −∞ рассматри-
вается аналогично.
Замечание 4.58. Для любого замкнутого множества F можно найти по-
следовательность {x
n
}
∞
n=1
такую, что F = F(x
n
).
Доказательство этого утверждения можно найти в [3].
Теорема 4.57 делает корректным следующее определение.
57
ограничена. Заметим, что последовательность {x n }∞
                                                  n=1 содержит бесконечно
много элементов, модуль которых больше, чем 2 (в противном случае по-
                      n=1 была бы ограничена). Поэтому можно выбрать
следовательность {xn }∞
элемент xn2 , у которого |xn2 | > 2 и n2 > n1 . Продолжая этот процесс,
построим подпоследовательность {xnk }∞k=1 , элементы которой удовлетворя-
ют условию xnk > k для всех k ∈ N. Отсюда и из теоремы 4.29 следует, что
lim xnk = ∞.
k→∞

  Совершенно аналогично можно доказать следующую теорему.
Теорема 4.55. Любая последовательность, не ограниченная сверху (сни-
зу), содержит подпоследовательность, сходящуюся к +∞ (−∞).
Лемма 4.56. Пусть M − произвольное подмножество множества R.
Следующие условия эквивалентны:
   1) точка a ∈ R является предельной точкой множества M ;
   2) существует последовательность {xn }∞
                                         n=1 ⊂ M такая, что выполне-
но равенство lim xn = a.
Теорема 4.57. Множество F(xn ) всех частичных пределов любой последо-
                 n=1 замкнуто.
вательности {xn }∞
Доказательство. Пусть a0 ∈ F(xn ). Покажем, что a0 ∈ F(xn ). Предпо-
ложим противное. Это означает, что a0 является предельной точкой мно-
жества F(xn ). Тогда существует последовательность {am }∞   m=1 элементов из
множества F(xn ), сходящаяся к a0 . Для каждого элемента am ∈ F(xn ) най-
                                (m)
дется подпоследовательность {xnk }∞ k=1 , сходящаяся к am . Это означает, что
                                                              (m)
для любого m ∈ N можно выбрать такое km ∈ N, что |xnkm − am | < m1
                          (m)
(другими словами, − m1 < xnkm − am < m1 ).
   Вначале предположим, что a0 ∈ R. В этом случае для каждого m ∈ N
                              (m)           (m)
выполнены неравенства 0 ≤ |xnkm −a0 | ≤ |xnkm −am |+|am −a0 | < m1 +|am −a0 |.
                                      (m)
По теореме 4.28 получаем, что lim xnkm = a0 , то есть a0 ∈ F(xn ).
                              m→∞
                                 (m)       (m)
  Пусть теперь a0 = +∞. Тогда xnkm     = xnkm − am + am > am − m1 . Отсюда
                                 (m)
потеореме 4.29 следует, что lim xnkm   = +∞. Случай a0 = −∞ рассматри-
                            m→∞
вается аналогично.
Замечание 4.58. Для любого замкнутого множества F можно найти по-
                      n=1 такую, что F = F(xn ).
следовательность {xn }∞
   Доказательство этого утверждения можно найти в [3].
  Теорема 4.57 делает корректным следующее определение.


                                      57

Страницы