Введение в математический анализ. Азизов Т.Я - 58 стр.

Определение 4.59. Наибольший (наименьший) из частичных пределов по-
                      n=1 называется верхним (нижним) пределом этой по-
следовательности {xn }∞
следовательности и обозначается lim xn ( lim xn ).
                                  n→∞      n→∞

  В определении 4.59 допускаются равенства lim xn = +∞, lim xn = −∞.
                                              n→∞             n→∞
Очевидно, что условие lim xn = +∞ равносильно тому, что последова-
                        n→∞
               n=1 не является ограниченной сверху, условие lim xn = −∞
тельность {xn }∞
                                                              n→∞
равносильно тому, что последовательность {x n }∞
                                               n=1 не является ограничен-
ной снизу.
   Ниже будут приведены критерии того, что a ∈ R является верхним
(нижним) пределом последовательности {xn }∞n=1 .

                                                 n=1 и точка a ∈ R.
Теорема 4.60. Пусть даны последовательность {xn }∞
Следующие условия эквивалентны:
  1) lim xn = a;
      n→∞
  2) выполнены условия:
  2.a) для любого ε > 0 найдется такое n� ∈ N, что для всех n > n�
выполнено неравенство xn < a + ε,
  2.b) для любых чисел ε > 0 и n ∈ N найдется n�� > n, для которого
выполнено неравенство xn�� > a − ε.
Доказательство. 1) ⇒ 2). Пусть lim xn = a. Предположим, что условие
                                   n→∞
2.a) не выполнено. Это означает, что существует такое ε 0 > 0, что для
каждого n ∈ N найдется n� > n, удовлетворяющий условию xn� ≥ a + ε0 . В
частности,
   для n = 1 существует n1 > 1 такое, что xn1 ≥ a + ε0 ;
   для n = n1 существует n2 > n1 такое, что xn2 ≥ a + ε0 ;
   для n = n2 существует n3 > n2 такое, что xn3 ≥ a + ε0 .
   Продолжая этот процесс, построим подпоследовательность y k = xnk ,
k ∈ N, исходной последовательности. Если последовательность {y k }∞k=1 не
ограничена сверху, то согласно теореме 4.55 lim yk = +∞. Значит, найдется
                                            k→∞
подпоследовательность {ykl }∞
                            l=1 такая, что lim ykl = +∞. Так как {ykl }l=1
                                                                       ∞
                                            l→∞
является подпоследовательностью исходной последовательности {x n }∞
                                                                  n=1 , то
lim xn = +∞ > a. Если последовательность {yk }k=1 ограничена сверху,
                                                 ∞
n→∞
то согласно теореме 4.53 из {yk }∞ k=1 можно выделить сходящуюся подпо-
следовательность {ykl }l=1 . Так как по построению ykl ≥ a + ε0 , то согласно
                       ∞

следствию 4.33 lim ykl ≥ a + ε0 . Но тогда lim xn ≥ lim yk ≥ a + ε0 > a.
                l→∞                         n→∞        k→∞
Таким образом, в обоих случаях получили противоречие. Следовательно,
условие 2.a) выполнено.

                                     58