Введение в математический анализ. Азизов Т.Я - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Теорема 4.61. Для любой последовательности {x
n
}
∞
n=1
следующие усло-
вия эквивалентны:
1) lim
n→∞
x
n
= +∞;
2) для любых чисел ε > 0 и n ∈ N найдется n
0
> n, для которого
выполнено неравенство x
n
0
> ε.
Доказательство. 1) ⇒ 2). Пусть lim
n→∞
x
n
= +∞. Тогда существует подпо-
следовательность {x
n
k
}
∞
k=1
такая, что lim
k→∞
x
n
k
= +∞. Зафиксируем произ-
вольные числа ε > 0 и n
0
∈ N. В соответствии с (10) для выбранного ε
найдется k
0
∈ N такое, что неравенство x
n
k
> ε выполнено для всех k ≥ k
0
.
Возьмем k
0
∈ N таким образом, чтобы выполнялись условия k
0
> k
0
и
n
k
00
> n
0
(это возможно, так как lim
k→∞
n
k
= +∞). Тогда условие 2) выполнено
с n
0
= n
k
0
.
2) ⇒ 1). Выполнение условия 2) гарантирует существование подпоследо-
вательности {x
n
k
}
∞
k=1
такой, что lim
k→∞
x
n
k
= +∞ (построение {x
n
k
}
∞
k=1
осу-
ществляется методом, изложенным в начале доказательства предыдущей
теоремы). Следовательно, lim
n→∞
x
n
= +∞.
Аналогичным образом доказываются следующие две теоремы.
Теорема 4.62. Пусть даны последовательность {x
n
}
∞
n=1
и точка a ∈ R.
Следующие условия эквивалентны:
1) lim
n→∞
x
n
= b;
2) выполнены условия:
2.a) для любого ε > 0 найдется такое n
0
∈ N, что для всех n > n
0
выполнено неравенство x
n
> b −ε,
2.b) для любых чисел ε > 0 и n ∈ N найдется n
00
> n, для которого
выполнено неравенство x
n
0
< b + ε.
Теорема 4.63. Для любой последовательности {x
n
}
∞
n=1
следующие усло-
вия эквивалентны:
1) lim
n→∞
x
n
= −∞;
2) для любых чисел ε > 0 и n ∈ N найдется n
00
> n, для которого
выполнено неравенство x
n
00
< −ε.
Следующая теорема дает необходимые и достаточные условия существо-
вания конечного или бесконечного предела последовательности в терминах
частичных пределов этой последовательности.
Теорема 4.64. Пусть даны последовательность {x
n
}
∞
n=1
и точка a ∈ R.
Следующие условия эквивалентны:
60
Теорема 4.61. Для любой последовательности {xn }∞
                                                n=1 следующие усло-
вия эквивалентны:
  1) lim xn = +∞;
     n→∞
  2) для любых чисел ε > 0 и n ∈ N найдется n� > n, для которого
выполнено неравенство xn� > ε.
Доказательство. 1) ⇒ 2). Пусть lim xn = +∞. Тогда существует подпо-
                                      n→∞
следовательность   {xnk }∞
                         k=1   такая, что lim xnk = +∞. Зафиксируем произ-
                                            k→∞
вольные числа ε > 0 и n0 ∈ N. В соответствии с (10) для выбранного ε
найдется k0 ∈ N такое, что неравенство xnk > ε выполнено для всех k ≥ k0 .
Возьмем k � ∈ N таким образом, чтобы выполнялись условия k � > k0 и
nk�� > n0 (это возможно, так как lim nk = +∞). Тогда условие 2) выполнено
                                     k→∞
с n� = nk� .
   2) ⇒ 1). Выполнение условия 2) гарантирует существование подпоследо-
вательности {xnk }∞
                  k=1 такой, что lim xnk = +∞ (построение {xnk }k=1 осу-
                                                                ∞
                                 k→∞
ществляется методом, изложенным в начале доказательства предыдущей
теоремы). Следовательно, lim xn = +∞.
                               n→∞

  Аналогичным образом доказываются следующие две теоремы.
Теорема 4.62. Пусть даны последовательность {xn }∞
                                                 n=1 и точка a ∈ R.
Следующие условия эквивалентны:
  1) lim xn = b;
     n→∞
  2) выполнены условия:
  2.a) для любого ε > 0 найдется такое n� ∈ N, что для всех n > n�
выполнено неравенство xn > b − ε,
  2.b) для любых чисел ε > 0 и n ∈ N найдется n�� > n, для которого
выполнено неравенство xn� < b + ε.
Теорема 4.63. Для любой последовательности {xn }∞
                                                n=1 следующие усло-
вия эквивалентны:
  1) lim xn = −∞;
     n→∞
  2) для любых чисел ε > 0 и n ∈ N найдется n�� > n, для которого
выполнено неравенство xn�� < −ε.
   Следующая теорема дает необходимые и достаточные условия существо-
вания конечного или бесконечного предела последовательности в терминах
частичных пределов этой последовательности.

                                                 n=1 и точка a ∈ R.
Теорема 4.64. Пусть даны последовательность {xn }∞
Следующие условия эквивалентны:

                                           60

Страницы