Введение в математический анализ. Азизов Т.Я - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

1) lim
n→∞
x
n
= a;
2) F(x
n
) = {a};
3) lim
n→∞
x
n
= lim
n→∞
x
n
= a.
Доказательство. Импликация 1)⇒2) следует из теоремы 4.52. Импликация
2)⇒3) вытекает из определения верхнего и нижнего пределов последова-
тельности. Предположим теперь, что выполнено условие 3), но lim
n→∞
x
n
6= a.
Тогда согласно замечанию 4.19, по крайней мере, одно из следующих мно-
жеств (−∞, a −ε
0
] или [a + ε
0
, +∞) содержит бесконечно много элементов
последовательности {x
n
}
∞
n=1
(если a = −∞, то a±ε
0
= −∞ и (−∞, a−ε
0
] =
= ∅; если a = +∞, то a ± ε
0
= +∞ и [a + ε
0
, +∞) = ∅). Допустим, что
бесконечно много элементов из {x
n
}
∞
n=1
содержится в (−∞, a − ε
0
]. Пусть
n
1
> n
2
> ... > n
k
> ... − номера всех членов последовательности, которые
попали в (−∞, a − ε
0
]. Таким образом, получили подпоследовательность
{x
n
k
}
∞
k=1
. По теореме 4.53 (если {x
n
k
}
∞
k=1
ограничена) и теореме 4.55 (если
{x
n
k
}
∞
k=1
не ограничена) найдется ee подпоследовательность {x
n
k
m
}
∞
m=1
, схо-
дящаяся к a
0
∈ R ∪−∞. По следствию 4.33 a
0
≤ a −ε
0
< a. Следовательно,
lim
n→∞
x
n
< a, что противоречит условию 3). Если допустить, что бесконечно
много элементов из {x
n
}
∞
n=1
содержится в множестве [a+ε
0
, +∞), то анало-
гичными рассуждениями получаем противоречие с условием lim
n→∞
x
n
= a.
Таким образом, импликация 3)⇒1), а вместе с ней и вся теорема полностью
доказаны.
Замечание 4.65. Если lim
n→∞
x
n
= ∞ и в то же время lim
n→∞
x
n
6= ±∞, то
существуют две подпоследовательности, пределы которых равны, соответ-
ственно, +∞ и −∞. Следовательно, в этом случае выполнены соотношения
−∞ = lim
n→∞
x
n
6= lim
n→∞
x
n
= +∞.
4.6. Критерий Коши существования у последовательности
конечного предела
Определение 4.66. Последовательность {x
n
}
∞
n=1
называется фундамен-
тальной, если для любого ε > 0 найдется такое n
0
∈ N, что для всех n ≥ n
0
и m ≥ n
0
выполняется условие |x
n
− x
m
| < ε.
Очевидным образом определение фундаментальной последовательности
можно записать в следующем эквивалентном виде.
Определение 4.67. Последовательность {x
n
}
∞
n=1
называется фундамен-
тальной, если для любого ε > 0 найдется такое n
0
∈ N, что для всех n ≥ n
0
и p ∈ N выполняется условие |x
n
− x
n+p
| < ε.
61
  1) lim xn = a;
       n→∞
  2) F(xn ) = {a};
  3) lim xn = lim xn = a.
       n→∞     n→∞

Доказательство. Импликация 1)⇒2) следует из теоремы 4.52. Импликация
2)⇒3) вытекает из определения верхнего и нижнего пределов последова-
тельности. Предположим теперь, что выполнено условие 3), но lim xn �= a.
                                                                n→∞
Тогда согласно замечанию 4.19, по крайней мере, одно из следующих мно-
жеств (−∞, a − ε0 ] или [a + ε0 , +∞) содержит бесконечно много элементов
последовательности {xn }∞ n=1 (если a = −∞, то a±ε0 = −∞ и (−∞, a−ε0 ] =
 = ∅; если a = +∞, то a ± ε0 = +∞ и [a + ε0 , +∞) = ∅). Допустим, что
бесконечно много элементов из {xn }∞   n=1 содержится в (−∞, a − ε0 ]. Пусть
n1 > n2 > ... > nk > ... − номера всех членов последовательности, которые
попали в (−∞, a − ε0 ]. Таким образом, получили подпоследовательность
      k=1 . По теореме 4.53 (если {xnk }k=1 ограничена) и теореме 4.55 (если
{xnk }∞                                 ∞

      k=1 не ограничена) найдется ee подпоследовательность {x nkm }m=1 , схо-
{xnk }∞                                                             ∞

дящаяся к a0 ∈ R ∪ −∞. По следствию 4.33 a0 ≤ a − ε0 < a. Следовательно,
lim xn < a, что противоречит условию 3). Если допустить, что бесконечно
n→∞
много элементов из {xn }∞
                        n=1 содержится в множестве [a + ε0 , +∞), то анало-
гичными рассуждениями получаем противоречие с условием lim xn = a.
                                                                n→∞
Таким образом, импликация 3)⇒1), а вместе с ней и вся теорема полностью
доказаны.
Замечание 4.65. Если lim xn = ∞ и в то же время lim xn �= ±∞, то
                     n→∞                            n→∞
существуют две подпоследовательности, пределы которых равны, соответ-
ственно, +∞ и −∞. Следовательно, в этом случае выполнены соотношения
−∞ = lim xn �= lim xn = +∞.
        n→∞      n→∞


4.6.   Критерий Коши существования у последовательности
       конечного предела
Определение 4.66. Последовательность {xn }∞   n=1 называется фундамен-
тальной, если для любого ε > 0 найдется такое n0 ∈ N, что для всех n ≥ n0
и m ≥ n0 выполняется условие |xn − xm | < ε.
  Очевидным образом определение фундаментальной последовательности
можно записать в следующем эквивалентном виде.
Определение 4.67. Последовательность {xn }∞   n=1 называется фундамен-
тальной, если для любого ε > 0 найдется такое n0 ∈ N, что для всех n ≥ n0
и p ∈ N выполняется условие |xn − xn+p | < ε.

                                     61

Страницы