Введение в математический анализ. Азизов Т.Я - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Теорема 4.68. Для того чтобы последовательность имела конечный пре-
дел, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.
Доказательство. Необходимость. Пусть последовательность {x
n
}
∞
n=1
име-
ет предел a ∈ R. Тогда для любого ε > 0 найдется такое n
0
∈ N, что для
всех n ≥ n
0
, m ≥ n
0
выполняются условия |x
n
−x
0
| <
ε
2
и |x
m
−x
0
| <
ε
2
. По
неравенству треугольника для указанных n и m получаем, что |x
n
− x
m
| ≤
≤ |x
n
− x
0
| + |x
m
− x
0
| <
ε
2
+
ε
2
= ε. Следовательно, последовательность
{x
n
}
∞
n=1
является фундаментальной.
Достаточность. Пусть {x
n
}
∞
n=1
является фундаментальной последова-
тельностью. Возьмем в определении 4.66 ε = 1 и m = n
0
. Тогда для n ≥
≥ n
0
выполняется неравенство |x
n
− x
n
0
| < 1. Следовательно, |x
n
| < c =
= max{|x
n
0
+ 1|, |x
n
0
− 1|} для всех n ≥ n
0
. Таким образом,
|x
n
| ≤ max{c, |x
1
|, ..., |x
n
0
−1
|} для всех n ∈ N,
то есть последовательность {x
n
}
∞
n=1
ограничена. По теореме 4.53 найдется
подпоследовательность {x
n
k
}
∞
k=1
, сходящаяся к некоторому a ∈ R. Тогда по
заданному произвольному ε > 0 найдем такое k
0
∈ N, что
|x
n
k
− a| <
ε
2
для всех k ≥ k
0
. (25)
Из определения 4.66 вытекает, что неравенство |x
n
− x
m
| <
ε
2
выполняется
для всех n и m, больших некоторого n
0
∈ N. Обозначим n
00
= max{n
0
, n
k
0
} и
выберем l ∈ N таким образом, чтобы выполнялось условие n
l
> n
00
≥ n
k
0
. Из
определения подпоследовательности следует, что l > k
0
, и, следовательно,
по условию (25) имеет место неравенство |x
n
l
−a| <
ε
2
. Тогда для произволь-
ного n ≥ n
00
получаем |x
n
− a| ≤ |x
n
− x
n
l
| + |x
n
l
− a| <
ε
2
+
ε
2
= ε.
Упражнение 20. Показать, что любая сходящаяся числовая последователь-
ность {x
n
}
∞
n=1
удовлетворяет условию lim
n→∞
(x
n+p
−x
n
) = 0 для любого фикси-
рованного p ∈ N. Привести пример такой расходящейся последовательности
{x
n
}
∞
n=1
, что lim
n→∞
(x
n+p
− x
n
) = 0 для каждого фиксированного p ∈ N.
Исходя из теоремы 4.68 и определений 4.66, 4.67 можно сформулировать
критерий того, что последовательность не является сходящейся.
Теорема 4.69. Следующие условия эквивалентны:
1) последовательность {x
n
}
∞
n=1
не имеет конечного предела;
2) существует ε
0
> 0 такое, что для каждого n ∈ N найдутся n
0
≥ n
и n
00
≥ n, удовлетворяющие условию |x
n
0
− x
n
00
| ≥ ε
0
;
3) существует ε
0
> 0 такое, что для каждого n ∈ N найдутся n
0
≥ n
и p ∈ N, удовлетворяющие условию |x
n
0
− x
n
0
+p
| ≥ ε
0
.
62
Теорема 4.68. Для того чтобы последовательность имела конечный пре-
дел, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.
Доказательство. Необходимость. Пусть последовательность {x n }∞      n=1 име-
ет предел a ∈ R. Тогда для любого ε > 0 найдется такое n0 ∈ N, что для
всех n ≥ n0 , m ≥ n0 выполняются условия |xn − x0 | < 2ε и |xm − x0 | < 2ε . По
неравенству треугольника для указанных n и m получаем, что |x n − xm | ≤
 ≤ |xn − x0 | + |xm − x0 | < 2ε + 2ε = ε. Следовательно, последовательность
     n=1 является фундаментальной.
{xn }∞
   Достаточность. Пусть {xn }∞     n=1 является фундаментальной последова-
тельностью. Возьмем в определении 4.66 ε = 1 и m = n0 . Тогда для n ≥
≥ n0 выполняется неравенство |xn − xn0 | < 1. Следовательно, |xn | < c =
= max{|xn0 + 1|, |xn0 − 1|} для всех n ≥ n0 . Таким образом,

               |xn | ≤ max{c, |x1 |, ..., |xn0 −1 |} для всех n ∈ N,

то есть последовательность {xn }∞n=1 ограничена. По теореме 4.53 найдется
подпоследовательность {xnk }k=1 , сходящаяся к некоторому a ∈ R. Тогда по
                             ∞

заданному произвольному ε > 0 найдем такое k0 ∈ N, что
                                   ε
                      |xnk − a| < для всех k ≥ k0 .                  (25)
                                   2
Из определения 4.66 вытекает, что неравенство |xn − xm | < 2ε выполняется
для всех n и m, больших некоторого n� ∈ N. Обозначим n�� = max{n� , nk0 } и
выберем l ∈ N таким образом, чтобы выполнялось условие n l > n�� ≥ nk0 . Из
определения подпоследовательности следует, что l > k 0 , и, следовательно,
по условию (25) имеет место неравенство |xnl − a| < 2ε . Тогда для произволь-
ного n ≥ n�� получаем |xn − a| ≤ |xn − xnl | + |xnl − a| < 2ε + 2ε = ε.
Упражнение 20. Показать, что любая сходящаяся числовая последователь-
ность {xn }∞n=1 удовлетворяет условию lim (xn+p −xn ) = 0 для любого фикси-
                                        n→∞
рованного p ∈ N. Привести пример такой расходящейся последовательности
     n=1 , что lim (xn+p − xn ) = 0 для каждого фиксированного p ∈ N.
{xn }∞
             n→∞
  Исходя из теоремы 4.68 и определений 4.66, 4.67 можно сформулировать
критерий того, что последовательность не является сходящейся.
Теорема 4.69. Следующие условия эквивалентны:
   1) последовательность {xn }∞
                              n=1 не имеет конечного предела;
   2) существует ε0 > 0 такое, что для каждого n ∈ N найдутся n� ≥ n
и n�� ≥ n, удовлетворяющие условию |xn� − xn�� | ≥ ε0 ;
   3) существует ε0 > 0 такое, что для каждого n ∈ N найдутся n� ≥ n
и p ∈ N, удовлетворяющие условию |xn� − xn� +p | ≥ ε0 .

                                        62

Страницы