Введение в математический анализ. Азизов Т.Я - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Доказательство. Пусть {x
n
k
}
∞
k=1
− произвольная подпоследовательность
исходной последовательности. Возьмем произвольную окрестность U(a). По
определению 4.12 найдется n
0
∈ N такое, что x
n
∈ U(a) для всех n ≥ n
0
.
Выберем k
0
∈ N такое, что n
k
0
≥ n
0
. Тогда n
k
∈ U(a) для всех k ≥ k
0
.
Следовательно, lim
n→∞
x
n
k
= a.
Если lim
n→∞
x
n
= ∞, то последовательность {x
n
}
∞
n=1
может иметь один
или два частичных предела из R: −∞ или +∞ (смотрите замечание 4.17).
Если последовательность {x
n
}
∞
n=1
не имеет предела, то F(x
n
) − непустое
конечное или бесконечное множество. Следующие две теоремы показывают,
что F(x
n
) 6= ∅.
Теорема 4.53. Любая ограниченная последовательность содержит сходя-
щуюся подпоследовательность.
Доказательство. Пусть {x
n
}
∞
n=1
− ограниченная последовательность. Возь-
мем произвольный элемент x
n
1
этой последовательности. Из определения
4.2 вытекает существование констант c
1
и d
1
таких, что c
1
≤ x
n
≤ d
1
для всех n ∈ N. Возьмем точку
c
1
+d
1
2
. Тогда, по крайней мере, один из
отрезков [c
1
,
c
1
+d
1
2
] или [
c
1
+d
1
2
, d
1
] содержит бесконечно много элементов по-
следовательности {x
n
}
∞
n=1
. Если таких отрезков два, то берем любой из них.
Обозначим этот отрезок [c
2
, d
2
]. Так как [c
2
, d
2
] содержит бесконечно много
элементов последовательности {x
n
}
∞
n=1
, то существует элемент x
n
2
∈ [c
2
, d
2
]
с n
2
> n
1
. Далее разделим отрезок [c
2
, d
2
] пополам и обозначим [c
3
, d
3
] ту
половину, которая содержит бесконечно много элементов последовательно-
сти {x
n
}
∞
n=1
. Тогда можно найти такой x
n
3
∈ [c
3
, d
3
], что n
3
> n
2
> n
1
.
Продолжая этот процесс, построим:
а) систему вложенных отрезков [c
1
, d
1
] ⊃ [c
2
, d
2
] ⊃ ... ⊃ [c
k
, d
k
] ⊃ ... с
d
k
− c
k
=
(d
1
−c
1
)
2
k−1
→ 0 при k → ∞,
б) подпоследовательность {x
n
k
}
∞
k=1
, x
n
k
∈ [c
k
, d
k
].
Так как d
n
− c
n
=
(d
1
−c
1
)
2
n−1
→ 0 при n → ∞, то по теореме 4.44 существует
единственная точка ξ =
∞
T
k=1
[c
k
, d
k
]. Из 0 ≤ |x
n
k
−a| ≤ d
k
−c
k
→ 0 при k → 0
и теоремы 4.28 следует, что lim
k→∞
x
n
k
= ξ.
Теорема 4.54. Любая неограниченная последовательность содержит под-
последовательность, сходящуюся к бесконечности.
Доказательство. Пусть {x
n
}
∞
n=1
− неограниченная последовательность.
Тогда найдется такой элемент x
n
1
, что |x
n
1
| > 1. Действительно, если бы это
условие было не выполнено, то мы имели бы неравенство |x
n
| ≤ 1 для всех
n ∈ N. Однако это противоречит тому, что последовательность {x
n
}
∞
n=1
не
56
Доказательство. Пусть {xnk }∞k=1 − произвольная подпоследовательность
исходной последовательности. Возьмем произвольную окрестность U (a). По
определению 4.12 найдется n0 ∈ N такое, что xn ∈ U (a) для всех n ≥ n0 .
Выберем k0 ∈ N такое, что nk0 ≥ n0 . Тогда nk ∈ U (a) для всех k ≥ k0 .
Следовательно, lim xnk = a.
                   n→∞

   Если lim xn = ∞, то последовательность {xn }∞
                                               n=1 может иметь один
          n→∞
или два частичных предела из R: −∞ или +∞ (смотрите замечание 4.17).
                             n=1 не имеет предела, то F(xn ) − непустое
Если последовательность {xn }∞
конечное или бесконечное множество. Следующие две теоремы показывают,
что F(xn ) �= ∅.
Теорема 4.53. Любая ограниченная последовательность содержит сходя-
щуюся подпоследовательность.
Доказательство. Пусть {xn }∞         n=1 − ограниченная последовательность. Возь-
мем произвольный элемент xn1 этой последовательности. Из определения
4.2 вытекает существование констант c1 и d1 таких, что c1 ≤ xn ≤ d1
для всех n ∈ N. Возьмем точку c1 +d             2 . Тогда, по крайней мере, один из
                                                    1


отрезков [c1 , c1 +d        c1 +d1
                  2 ] или [ 2 , d1 ] содержит бесконечно много элементов по-
                     1


следовательности {xn }∞   n=1 . Если таких отрезков два, то берем любой из них.
Обозначим этот отрезок [c2 , d2 ]. Так как [c2 , d2 ] содержит бесконечно много
элементов последовательности {xn }∞            n=1 , то существует элемент xn2 ∈ [c2 , d2 ]
с n2 > n1 . Далее разделим отрезок [c2 , d2 ] пополам и обозначим [c3 , d3 ] ту
половину, которая содержит бесконечно много элементов последовательно-
сти {xn }∞
         n=1 . Тогда можно найти такой xn3 ∈ [c3 , d3 ], что n3 > n2 > n1 .
   Продолжая этот процесс, построим:
   а) систему вложенных отрезков [c1 , d1 ] ⊃ [c2 , d2 ] ⊃ ... ⊃ [ck , dk ] ⊃ ... с
dk − ck = (d21k−1
              −c1 )
                    → 0 при k → ∞,
   б) подпоследовательность {xnk }∞           k=1 , xnk ∈ [ck , dk ].
                        (d1 −c1 )
   Так как dn − cn = 2n−1 → 0 при n → ∞, то по теореме 4.44 существует
                             �
                             ∞
единственная точка ξ =            [ck , dk ]. Из 0 ≤ |xnk − a| ≤ dk − ck → 0 при k → 0
                             k=1
и теоремы 4.28 следует, что lim xnk = ξ.
                                   k→∞

Теорема 4.54. Любая неограниченная последовательность содержит под-
последовательность, сходящуюся к бесконечности.
Доказательство. Пусть {xn }∞ n=1 − неограниченная последовательность.
Тогда найдется такой элемент xn1 , что |xn1 | > 1. Действительно, если бы это
условие было не выполнено, то мы имели бы неравенство |x n | ≤ 1 для всех
n ∈ N. Однако это противоречит тому, что последовательность {x n }∞    n=1 не

                                            56

Страницы