Введение в математический анализ. Азизов Т.Я - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

точных граней множества получаем оценки a ≤ ξ ≤ b. Следовательно,
ξ ∈ [a, b] и поэтому
∞
T
n=1
[a
n
, b
n
] ⊆ [a, b]. Таким образом, доказано равенство
∞
T
n=1
[a
n
, b
n
] = [a, b]. В частности, здесь допустимо равенство a = b, при
выполнении которого, считаем, что [a, a] = {a}.
Теорема 4.46. Пусть дана система вложенных отрезков {[a
n
, b
n
]}
∞
n=1
и
lim
n→∞
(b
n
− a
n
) = 0. Тогда множество
∞
T
n=1
[a
n
, b
n
] состоит из единственной
точки ξ. При этом ξ = sup{a
n
: n ∈ N} = inf{b
n
: n ∈ N}.
Доказательство. Обозначим a = sup{a
n
: n ∈ N} и b = inf{b
n
: n ∈ N}. По
теореме 4.45
∞
T
n=1
[a
n
, b
n
] = [a, b] и a ≤ b. Предположим, что a < b. Так как
lim
n→∞
(b
n
− a
n
) = 0, то по определению 4.16 для ε =
b − a
2
найдется n
0
∈ N
такое, что b
n
− a
n
<
b − a
2
для всех n ≥ n
0
. Из равенства
∞
T
n=1
[a
n
, b
n
] = [a, b]
следует, что [a, b] ⊆ [a
n
, b
n
]. Поэтому b − a ≤ b
n
− a
n
<
b − a
2
для n ≥ n
0
.
Получили противоречие. Таким образом, обозначив ξ = a = b, получаем
∞
T
n=1
[a
n
, b
n
] = {ξ}.
Определение 4.47. Система множеств S = {X} называется покрытием
множества Y , если Y ⊆
S
X∈S
X. Другими словами,
S = {X} − покрытие Y ⇔ ∀(y ∈ Y )∃(X ∈ S)[y ∈ X]. (21)
Любое подмножество покрытия S, которое само является покрытием мно-
жества Y , называется подпокрытием. Покрытие (подпокрытие) называется
конечным или бесконечным в зависимости от того, является конечным или
бесконечным набор составляющих его множеств.
Теорема 4.48. Любая система интервалов S, являющаяся бесконечным
покрытием отрезка [a, b], содержит конечное подпокрытие.
Доказательство. Предположим, что S не содержит конечное подпокрытие
отрезка [a, b]. Тогда хотя бы один из отрезков [a, (a + b)/2] или [(a + b)/2, b]
не допускает покрытия конечной системой интервалов из множества S.
Обозначим любой из отрезков, удовлетворяющих этому условию, [a
1
, b
1
].
Далее разделим отрезок [a
1
, b
1
] пополам и обозначим [a
2
, b
2
] ту из половин,
которая не допускает покрытия конечной системой интервалов из множест-
ва S. Продолжая аналогично, получим систему вложенных отрезков
54
точных граней множества получаем оценки a ≤ ξ ≤ b. Следовательно,
                     �
                     ∞
ξ ∈ [a, b] и поэтому   [an , bn ] ⊆ [a, b]. Таким образом, доказано равенство
                       n=1
�
∞
      [an , bn ] = [a, b]. В частности, здесь допустимо равенство a = b, при
n=1
выполнении которого, считаем, что [a, a] = {a}.
Теорема 4.46. Пусть дана система вложенных отрезков {[an , bn ]}∞   n=1 и
                                    �
                                    ∞
lim (bn − an ) = 0. Тогда множество   [an , bn ] состоит из единственной
n→∞                                        n=1
точки ξ. При этом ξ = sup{an : n ∈ N} = inf{bn : n ∈ N}.
Доказательство. Обозначим a = sup{an : n ∈ N} и b = inf{bn : n ∈ N}. По
             �
             ∞
теореме 4.45   [an , bn ] = [a, b] и a ≤ b. Предположим, что a < b. Так как
               n=1
                                                         b−a
 lim (bn − an ) = 0, то по определению 4.16 для ε =            найдется n0 ∈ N
n→∞                                                        2
                       b−a                                      �
                                                                ∞
такое, что bn − an <            для всех n ≥ n0 . Из равенства     [an , bn ] = [a, b]
                         2                                     n=1
                                                              b−a
следует, что [a, b] ⊆ [an , bn ]. Поэтому b − a ≤ bn − an <          для n ≥ n0 .
                                                                2
Получили противоречие. Таким образом, обозначив ξ = a = b, получаем
 �
 ∞
    [an , bn ] = {ξ}.
n=1

Определение 4.47. Система  множеств S = {X} называется покрытием
                       �
множества Y , если Y ⊆   X. Другими словами,
                             X∈S

             S = {X} − покрытие Y ⇔ ∀(y ∈ Y )∃(X ∈ S)[y ∈ X].                    (21)
Любое подмножество покрытия S, которое само является покрытием мно-
жества Y , называется подпокрытием. Покрытие (подпокрытие) называется
конечным или бесконечным в зависимости от того, является конечным или
бесконечным набор составляющих его множеств.
Теорема 4.48. Любая система интервалов S, являющаяся бесконечным
покрытием отрезка [a, b], содержит конечное подпокрытие.
Доказательство. Предположим, что S не содержит конечное подпокрытие
отрезка [a, b]. Тогда хотя бы один из отрезков [a, (a + b)/2] или [(a + b)/2, b]
не допускает покрытия конечной системой интервалов из множества S.
Обозначим любой из отрезков, удовлетворяющих этому условию, [a 1 , b1 ].
Далее разделим отрезок [a1 , b1 ] пополам и обозначим [a2 , b2 ] ту из половин,
которая не допускает покрытия конечной системой интервалов из множест-
ва S. Продолжая аналогично, получим систему вложенных отрезков

                                         54

Страницы