Введение в математический анализ. Азизов Т.Я - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Из полученных оценок следует, что lim
n→∞
x
n
= a.
Вторая часть теоремы может быть доказана аналогично. Однако мы
поступим иначе, воспользовавшись уже доказанным утверждением. Пусть
{x
n
}
∞
n=1
− невозрастающая ограниченная снизу последовательность. Тогда
{−x
n
}
∞
n=1
− неубывающая ограниченная сверху последовательность, при-
чем sup{−x
n
: n ∈ R} = −inf{x
n
: n ∈ N}. По доказанному выше и по
теореме 4.26 пункт 1) с α = −1 и β = 0 получаем равенства lim
n→∞
x
n
=
= − lim
n→∞
(−x
n
) = −sup{−x
n
: n ∈ N} = inf{x
n
: n ∈ N}.
Теорема 4.41. Любая неограниченная неубывающая последовательность
имеет предел, равный +∞.
Любая неограниченная невозрастающая последовательность
имеет предел, равный −∞.
Доказательство. Пусть {x
n
}
∞
n=1
− неограниченная неубывающая последо-
вательность. Возьмем произвольное ε > 0. Так как множество {x
n
: n ∈ N}
не является ограниченным сверху, то найдется x
n
0
∈ {x
n
: n ∈ N} такое,
что x
n
0
> ε. Так как последовательность {x
n
}
∞
n=1
не убывает, то для всех
n ≥ n
0
выполнены неравенства:
x
n
≥ x
n
0
> ε.
Отсюда и из (10) получаем равенство lim
n→∞
x
n
= +∞.
Вторая часть теоремы доказывается аналогично.
Пример 4.42. Пусть a − произвольное положительное число. Определим
последовательность {x
n
}
∞
n=1
следующим образом: произвольно выберем чис-
ло x
1
> 0 и положим x
n+1
=
1
2
(x
n
+
a
x
n
). Покажем, что эта последователь-
ность удовлетворяет условиям второй части теоремы 4.40.
Так как
x
n+1
−
√
a =
1
2
(x
n
+
a
x
n
) −
√
a =
1
2 x
n
(x
n
−
√
a)
2
≥ 0 для любого n ∈ N,
то
x
n
≥
√
a для любого n ≥ 2. (14)
Следовательно, x
n
≥ min{x
1
,
√
a} для любого n ∈ N, то есть последова-
тельность {x
n
}
∞
n=1
ограничена снизу. Воспользовавшись оценкой (14) и тем,
что все элементы последовательности {x
n
}
∞
n=1
положительны, получаем
x
n+1
− x
n
=
1
2
(x
n
+
a
x
n
) − x
n
=
a − x
2
n
2 x
n
≤ 0 для любого n ≥ 2.
51
Из полученных оценок следует, что lim xn = a.
                                  n→∞
   Вторая часть теоремы может быть доказана аналогично. Однако мы
поступим иначе, воспользовавшись уже доказанным утверждением. Пусть
     n=1 − невозрастающая ограниченная снизу последовательность. Тогда
{xn }∞
{−xn }∞n=1 − неубывающая ограниченная сверху последовательность, при-
чем sup{−xn : n ∈ R} = − inf{xn : n ∈ N}. По доказанному выше и по
теореме 4.26 пункт 1) с α = −1 и β = 0 получаем равенства lim xn =
                                                               n→∞
= − lim (−xn ) = − sup{−xn : n ∈ N} = inf{xn : n ∈ N}.
    n→∞

Теорема 4.41. Любая неограниченная неубывающая последовательность
имеет предел, равный +∞.
  Любая     неограниченная   невозрастающая    последовательность
имеет предел, равный −∞.
Доказательство. Пусть {xn }∞n=1 − неограниченная неубывающая последо-
вательность. Возьмем произвольное ε > 0. Так как множество {x n : n ∈ N}
не является ограниченным сверху, то найдется xn0 ∈ {xn : n ∈ N} такое,
что xn0 > ε. Так как последовательность {xn }∞
                                             n=1 не убывает, то для всех
n ≥ n0 выполнены неравенства:

                              xn ≥ xn0 > ε.

Отсюда и из (10) получаем равенство lim xn = +∞.
                                    n→∞
  Вторая часть теоремы доказывается аналогично.
Пример 4.42. Пусть a − произвольное положительное число. Определим
последовательность {xn }∞n=1 следующим образом: произвольно выберем чис-
                              1        a
ло x1 > 0 и положим xn+1 = (xn + ). Покажем, что эта последователь-
                              2      xn
ность удовлетворяет условиям второй части теоремы 4.40.
   Так как
         √     1       a      √      1         √
  xn+1 − a = (xn + ) − a =               (xn − a)2 ≥ 0 для любого n ∈ N,
               2       xn          2 xn
то                            √
                        xn ≥ a для любого n ≥ 2.                      (14)
                                 √
   Следовательно, xn ≥ min{x1 , a} для любого n ∈ N, то есть последова-
               n=1 ограничена снизу. Воспользовавшись оценкой (14) и тем,
тельность {xn }∞
что все элементы последовательности {xn }∞   n=1 положительны, получаем

                 1     a         a − x2n
      xn+1 − xn = (xn + ) − xn =         ≤ 0 для любого n ≥ 2.
                 2     xn         2 xn

                                    51

Страницы