Классические ортогональные полиномы. Балакин А.Б. - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

P
0
(x) = 1 , P
1
(x) = x , P
2
(x) =
1
2
(3x
2
− 1) .
P
n
(−1) = (−1)
n
, P
n
(+1) = 1 .
p
(n,n)
=
1
2
n
C
n
2n
, p
(n,n−1)
= 0 .
N
2
n
=
2
(2n + 1)
.
P
n
(x) =
(−1)
n
2πi
2
−n
Z
C
dξ
(1 − ξ
2
)
n
(ξ − x)
n+1
.
P
n
(cos θ) =
1
π
Z
π
0
dφ (cos θ + i sin θ cos φ)
n
ξ = x +
√
x
2
− 1 e
iφ
, x = cos θ
√
x
2
− 1
A
n
=
(2n + 1)
(n + 1)
, B
n
= 0 , C
n
=
n
(n + 1)
.
(n + 1) P
n+1
(x) − (2n + 1)x P
n
(x) + n P
n−1
(x) = 0 .
Ïåðâûå òðè ïîëèíîìà Ëåæàíäðà
                                                       1
               P0 (x) = 1 ,   P1 (x) = x ,     P2 (x) = (3x2 − 1) .    (187)
                                                       2
Çíà÷åíèÿ íà ãðàíèöàõ èíòåðâàëà

                        Pn (−1) = (−1)n ,       Pn (+1) = 1 .          (188)

Ïîëèíîìèàëüíûå êîýôôèöèåíòû
                                    1 n
                         p(n,n) =     C ,      p(n,n−1) = 0 .          (189)
                                    2n 2n
Íîðìèðîâî÷íûå ìíîæèòåëè
                                            2
                                 Nn2 =            .                    (190)
                                         (2n + 1)
Èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå
                              (−1)n −n Z      (1 − ξ 2 )n
                     Pn (x) =      2      dξ              .            (191)
                               2πi      C    (ξ − x)n+1
Äðóãîå èçâåñòíîå èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå ïîëèíîìîâ Ëåæàíäðà
                                 1Zπ
                  Pn (cos θ) =       dφ (cos θ + i sin θ cos φ)n       (192)
                                 π 0

ïîëó÷àåòñÿ èç (191) ñ ïîìîùüþ çàìåí
                                 √
                        ξ =x+        x2 − 1 eiφ ,   x = cos θ          (193)

ïóòåì ïðåîáðàçîâàíèÿ êîíòóðà èíòåãðèðîâàíèÿ â îêðóæíîñòü ðàäè-
      √
óñà  x2 − 1.
Êîýôôèöèåíòû ðåêóððåíòíîñòè
                        (2n + 1)                              n
                 An =            ,     Bn = 0 ,     Cn =           .   (194)
                         (n + 1)                           (n + 1)
Ðåêóððåíòíûå ñîîòíîøåíèÿ

          (n + 1) Pn+1 (x) − (2n + 1)x Pn (x) + n Pn−1 (x) = 0 .       (195)

                                          49

Страницы