Классические ортогональные полиномы. Балакин А.Б. - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

β
n
= n ,
(1 − x
2
)
d
dx
P
n
(x) = −n x P
n
(x) + n P
n−1
(x) .
W(x, t) =
∞
X
n=0
P
n
(x)t
n
= R
−1
(x, t) =
1
√
1 − 2xt + t
2
.
T
n
(x) U
n
(x) T
n
(x)
α = β ≡ −
1
2
,
U
n
(x)
α = β ≡
1
2
.
T
n
(x) U
n
(x)
λ = 0 λ = 1
K
n
K
n
T
n
(x) U
n
(x)
Ôîðìóëà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ

                                 βn = n ,                           (196)
                  d
          (1 − x2 ) Pn (x) = −n x Pn (x) + n Pn−1 (x) .             (197)
                 dx
Ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ
                 ∞
                 X                                     1
     W(x, t) =         Pn (x)tn = R−1 (x, t) = √                .   (198)
                 n=0                               1 − 2xt + t2

2.5.3. Ïîëèíîìû ×åáûøåâà
Ïîëèíîìû ×åáûøåâà, òàêæå êàê è ïîëèíîìû Ëåæàíäðà, íå ñîäåð-
æàò ñâîáîäíûõ ïàðàìåòðîâ. Ê ðàçðÿäó êëàññè÷åñêèõ îòíîñÿòñÿ äâà
òèïà ïîëèíîìîâ ×åáûøåâà: Tn (x) è Un (x). Ïîëèíîìû Tn (x) ïîëó÷à-
þòñÿ èç ïîëèíîìîâ ßêîáè ïðè
                                   1
                              α=β≡− ,                               (199)
                                   2
à ïîëèíîìû Un (x) - ïðè
                                         1
                               α=β≡        .                        (200)
                                         2
Î÷åâèäíî, ÷òî ïîëèíîìû ×åáûøåâà Tn (x) è Un (x) ïðåäñòàâëÿþò ñî-
áîé ÷àñòíûå ñëó÷àè óëüòðàñôåðè÷åñêèõ ïîëèíîìîâ Ãåãåíáàóýðà äëÿ
çíà÷åíèé λ = 0 è λ = 1, ñîîòâåòñòâåííî, íî ìîãóò â ñèëó ñîîáðà-
æåíèé óäîáñòâà îòëè÷àòüñÿ îò íèõ ïîñòîÿííûì ìíîæèòåëåì. Íèæå
ïðèâåäåíû ôîðìóëû, â êîòîðûõ èñïîëüçîâàíà ñòàíäàðòèçàöèÿ, ïðè-
íÿòàÿ â êíèãå [1]. Ïðè òàêîé ñòàíäàðòèçàöèè êîýôôèöèåíòû Kn äëÿ
ïîëèíîìîâ ×åáûøåâà íå ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû èç Kn äëÿ ïîëèíî-
ìîâ ßêîáè. Ñîîòâåòñòâóþùèå èçìåíåíèÿ ïðåòåðïåâàþò è îñòàëüíûå
ôîðìóëû. Ïîñêîëüêó äëÿ Tn (x) è Un (x) ñïðàâåäëèâû ïîõîæèå ñî-
îòíîøåíèÿ, ïðèâåäåì èõ ðÿäîì äðóã ñ äðóãîì â óêàçàííîì ïîðÿäêå
äëÿ óäîáñòâà ñðàâíåíèÿ.

                                    50

Страницы