Классические ортогональные полиномы. Балакин А.Б. - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

(1 − x
2
)
d
dx
U
n
(x) = (n + 1)U
n−1
(x) − nxU
n
(x) .
1 + 2
∞
X
n=1
T
n
(x) t
n
=
1 − t
2
1 − 2xt + t
2
,
∞
X
n=0
U
n
(x) t
n
=
1
1 − 2xt + t
2
.
T
n
(x) U
n
(x)
T
n
(x) = U
n
(x) − xU
n−1
(x) ,
(1 − x
2
)U
n−1
(x) = xT
n
(x) − T
n+1
(x) .
T
n
(cos θ) = cos nθ , U
n
(cos θ) =
sin [(n + 1)θ]
sin θ
.
~
R X
1
, X
2
, X
3
U(
~
R) =
Z
V
d
3
r
ρ(~r)
|
~
R −~r|
,
V d
3
r
~r
x
1
, x
2
, x
3
|
~
R −~r| ≡
r
(
~
R −~r)
2
=
r
~
R
2
− 2(
~
R, ~r) + ~r
2
,
                 d
           (1 − x2 )
                   Un (x) = (n + 1)Un−1 (x) − nxUn (x) .                       (218)
                dx
Ïðîèçâîäÿùèå ôóíêöèè
                             ∞
                             X           1 − t2
                                             n
                   1+2     Tn (x) t =              ,
                       n=1            1 − 2xt + t2
                       ∞
                       X                               1
                             Un (x) tn =                       .               (219)
                       n=0                        1 − 2xt + t2
Ñâÿçü ïîëèíîìîâ Tn (x) è Un (x)

                       Tn (x) = Un (x) − xUn−1 (x) ,

                (1 − x2 )Un−1 (x) = xTn (x) − Tn+1 (x) .                       (220)

Òðèãîíîìåòðèçàöèÿ ïîëèíîìîâ ×åáûøåâà
                                                            sin [(n + 1)θ]
           Tn (cos θ) = cos nθ ,     Un (cos θ) =                          .   (221)
                                                                 sin θ

2.5.4. Ôèçè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ
Ïðè îïèñàíèè íüþòîíîâñêîãî ãðàâèòàöèîííîãî èëè êóëîíîâñêîãî ýëåê-
òðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ âîçíèêàåò çàäà÷à îá îïðåäåëåíèè ïîòåíöèàëà,
ñîçäàâàåìîãî ïðîòÿæåííûì òåëîì.  òî÷êå, îïèñûâàåìîé ðàäèóñ -
         ~ ñ äåêàðòîâûìè êîîðäèíàòàìè X1 , X2 , X3 , êîòîðàÿ íàõî-
âåêòîðîì R
äèòñÿ âíå òåëà, èñòî÷íèêà ïîëÿ, ïîòåíöèàë çàäàåòñÿ èíòåãðàëîì
                                     Z               ρ(~r)
                             ~ =
                           U(R)              d3 r            ,                 (222)
                                         V           ~ − ~r|
                                                    |R
ãäå V ñèìâîëèçèðóåò îáëàñòü, çàíèìàåìóþ òåëîì, d3 r ïðåäñòàâëÿåò
ñîáîé ìåðó èíòåãðèðîâàíèÿ ïî îáúåìó, ~r - ðàäèóñ - âåêòîð ñ äåêàð-
òîâûìè êîîðäèíàòàìè x1 , x2 , x3 , íàïðàâëåííûé èç íà÷àëà êîîðäèíàò
â òåêóùóþ òî÷êó, ñêàíèðóþùóþ îáëàñòü èíòåãðèðîâàíèÿ. Ïîìíÿ î
òîì, ÷òî                 r                        r
              ~ − ~r| ≡ (R
             |R          ~       − ~r)2        ~ 2 − 2(R,
                                             = R       ~ ~r) + ~r2 ,           (223)

                                             53

Страницы