Классические ортогональные полиномы. Балакин А.Б. - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Q
ij
≡
Z
V
d
3
r ρ(~r)
Ã
x
i
x
j
−
1
3
r
2
δ
ij
!
.
ρ(r)
Z
π
0
sin θdθP
n
(cos θ) · 1 =
Z
1
−1
d(cos θ)P
n
(cos θ)P
0
(cos θ)
n = 0
U(
~
R) =
4π
R
Z
∞
0
r
2
dr ρ(r) =
M
R
,
M
                            Z               Ã               !
                                          1
                 Qij ≡ d r ρ(~r) xi xj − r2 δij .
                                3
                                                            (230)
                        V                 3
Äëÿ ñëó÷àÿ ñôåðè÷åñêè ñèììåòðè÷íîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïëîòíîñòè
ρ(r) ëåãêî âîñïðîèçâåñòè ðåçóëüòàò, ïîëó÷åííûé È.Íüþòîíîì, î òîì,
÷òî äëÿ ëþáîé âíåøíåé òî÷êè íàáëþäåíèÿ ïîòåíöèàë ïðîòÿæåííîãî
òåëà ñ ïëîòíîñòüþ, çàâèñÿùåé òîëüêî îò ðàññòîÿíèÿ äî öåíòðà, ðàâåí
ïîòåíöèàëó òî÷å÷íîãî òåëà, ó êîòîðîãî âñÿ ìàññà ñîñðåäîòî÷åíà â
öåíòðå. Äåéñòâèòåëüíî, èíòåãðàë
     Z π                             Z 1
           sin θdθPn (cos θ) · 1 =         d(cos θ)Pn (cos θ)P0 (cos θ)   (231)
      0                               −1

â ñèëó óñëîâèé îðòîãîíàëüíîñòè äëÿ ïîëèíîìîâ Ëåæàíäðà îòëè÷åí
îò íóëÿ òîëüêî ïðè n = 0, ïîñêîëüêó åäèíèöó â ïîäûíòåãðàëüíîì
âûðàæåíèè ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ïîëèíîì íóëåâîé ñòåïåíè. Òîãäà
èç âñåé ñóììû â (226) îñòàåòñÿ ëèøü îäíî íåíóëåâîå ñëàãàåìîå

                       ~ =      4π Z ∞ 2          M
                     U(R)             r dr ρ(r) =   ,                     (232)
                                R 0               R
ïðè÷åì â äàííîé çàäà÷å ìîíîïîëüíûé ìîìåíò M ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé
ïîëíóþ ìàññó îáúåêòà.




                                           55

Страницы