Классические ортогональные полиномы. Балакин А.Б. - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

ρ(~r)
|
~
R −~r
2
|
=
ρ(~r)
√
R
2
− 2Rr cos θ + r
2
,
R ≡ |
~
R| r ≡ |~r | cos θ ≡
(
~
R,~r)
|
~
R||~r|
θ
~
R ~r
R > r
r
R
ρ(~r)
√
R
2
− 2Rr cos θ + r
2
= ρ(~r)
∞
X
n=0
r
n
R
n+1
P
n
(cos θ) .
U(
~
R) =
∞
X
n=0
1
R
n+1
Z
∞
0
Z
π
0
Z
2π
0
r
n+2
sin θdrdθdφ ρ(r, θ, φ) P
n
(cos θ) .
n = 0 n = 1 n = 2
U(
~
R) =
M
R
+
~
R ·
~
D
R
3
+
3
2R
5
3
X
i,j=1
X
i
X
j
Q
ij
+ ...
M
~
D
Q
ij
M ≡
Z
V
d
3
r ρ(~r) ,
~
D ≡
Z
V
d
3
r ~r ρ(~r) ,
ìîæíî ïðåäñòàâèòü ïîäûíòåãðàëüíóþ ôóíêöèþ â (222) ñëåäóþùèì
îáðàçîì
                        ρ(~r)           ρ(~r)
                                 =√ 2                 ,                      (224)
                       ~ − ~r2 |
                      |R           R − 2Rr cos θ + r2
                                                                              ~ r)
                                          ~ , r ≡ |~r|, cos θ ≡
ãäå ââåäåíû ñòàíäàðòíûå îáîçíà÷åíèÿ: R ≡ |R|                                 (R,~
                                                                                     ,
                                                                              ~
                                                                             |R||~r|
                         ~ è ~r. Ïîñêîëüêó äëÿ âíåøíèõ òî÷åê íà-
θ - óãîë ìåæäó âåêòîðàìè R
áëþäåíèÿ R > r, êàæåòñÿ åñòåñòâåííûì ðàçëîæèòü ôóíêöèþ (224)
                       r
â ðÿä ïî ñòåïåíÿì      R.   Òîãäà, âñïîìèíàÿ ïðî ïðîèçâîäÿùóþ ôóíêöèþ
äëÿ ïîëèíîìîâ Ëåæàíäðà (198), ïîëó÷àåì
                     ρ(~r)                 X∞   rn
           √                       = ρ(~
                                       r )          P (cos θ) .
                                                 n+1 n
                                                                             (225)
               R2 − 2Rr cos θ + r2         n=0 R

Ñëåäîâàòåëüíî, ïîòåíöèàë (222) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñëåäóþ-
ùåãî òàê íàçûâàåìîãî ìóëüòèïîëüíîãî ðàçëîæåíèÿ
           ∞
           X      1     Z ∞ Z π Z 2π
    ~ =
  U(R)                                  rn+2 sin θdrdθdφ ρ(r, θ, φ) Pn (cos θ) .
                 n+1 0
           n=0 R              0    0
                                                                             (226)
Ïåðâûå òðè ñëàãàåìûõ ýòîãî ðàçëîæåíèÿ (n = 0, n = 1, n = 2)
îáû÷íî ñâÿçûâàþò ñ ìîíîïîëüíûì, äèïîëüíûì è êâàäðóïîëüíûì
ìîìåíòàìè, ñîîòâåòñòâåííî. Èìåÿ â âèäó ÿâíîå ïðåäñòàâëåíèå ïåð-
âûõ òðåõ ïîëèíîìîâ Ëåæàíäðà (187), ïåðåïèøåì ôîðìóëó (226) â
ñëåäóþùåì âèäå:

                   M R ~ ·D
                          ~    3 X   3
              ~
            U(R) =   +      +           Xi Xj Qij + ...                      (227)
                   R    R3    2R5 i,j=1

                                                         ~ è
Ñêàëÿð ìîíîïîëüíîãî ìîìåíòà M, âåêòîð äèïîëüíîãî ìîìåíòà D
òåíçîð êâàäðóïîëüíîãî ìîìåíòà Qij ,êàê îáû÷íî, çàäàþòñÿ ñîîòíî-
øåíèÿìè:
                                            Z
                                  M≡                d3 r ρ(~r) ,             (228)
                                                V
                                        Z
                                  ~ ≡
                                  D             d3 r ~r ρ(~r) ,              (229)
                                            V


                                                54

Страницы