Три лекции по теории функций Бесселя. Балакин А.Б. - 14 стр.

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КФУ | Казань

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Рубрика: 

J
ν−1
(x) J
ν
(x) J
ν+1
(x)
x
ν
J
ν
(x)
d
dx
[x
ν
J
ν
(x)] =
d
dx
∞
X
m=0
(−1)
m
x
2
2m+2ν
2
ν
Γ(m+1)Γ(ν+m+1)
=
=
∞
X
m=0
(−1)
m
x
2
2m+2ν−1
Γ(m+1)Γ(ν+m)
= x
ν
J
ν−1
(x) .
x
−ν
J
ν
(x)
d
dx
[x
ν
J
ν
(x)] = x
ν
J
ν−1
(x) ,
d
dx
h
x
−ν
J
ν
(x)
i
= −x
−ν
J
ν+1
(x) .
x
ν
x
−ν
J
0
ν
(x) = J
ν−1
(x) −
ν
x
J
ν
(x) , J
0
ν
(x) = −J
ν+1
(x) +
ν
x
J
ν
(x) .
2J
0
ν
(x) = J
ν−1
(x)−J
ν+1
(x) , J
ν−1
(x)+J
ν+1
(x) =
2ν
x
J
ν
(x) .
ν ν+1 ν−1
                                   ËÅÊÖÈß II.
  Èíòåãðàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ ôóíêöèé Áåññåëÿ, ðåêóððåíòíûå
                ñîîòíîøåíèÿ è ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ

 2.1. Ïðåäñòàâëåíèå ôóíêöèé Áåññåëÿ ñ ïîìîùüþ ðåêóððåíòíûõ
                                   ñîîòíîøåíèé

               2.1.1. Âûâîä ðåêóððåíòíûõ ñîîòíîøåíèé

     Òðè ôóíêöèè Áåññåëÿ îäíîãî è òîãî æå àðãóìåíòà ñ èíäåêñàìè, îòëè÷à-
þùèìèñÿ íà åäèíèöó, Jν−1 (x), Jν (x) è Jν+1 (x), ñâÿçàíû ëèíåéíûì ñîîòíîøå-
íèåì, êîòîðîå ïðèíÿòî íàçûâàòü ðåêóððåíòíûì. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîëó÷èòü
ýòî ðåêóððåíòíîå ñîîòíîøåíèå, ïðîäåëàåì ñëåäóþùóþ öåïî÷êó îïåðàöèé. Âî-
ïåðâûõ, íàéäåì ïðîèçâîäíóþ îò ïðîèçâåäåíèÿ xν Jν (x) è ïðåîáðàçóåì å¼ ñ
ïîìîùüþ ïåðâîãî ñâîéñòâà ãàììà-ôóíêöèè:
                                                   2m+2ν
                                               x
                d ν             d X∞
                                         m     2     2ν
                  [x Jν (x)] =       (−1)                 =
               dx              dx m=0      Γ(m+1)Γ(ν+m+1)
                                     2m+2ν−1
                      ∞              x
                          (−1)m      2
                                                   = xν Jν−1 (x) .             (55)
                      X
                  =
                      m=0         Γ(m+1)Γ(ν+m)
Åñëè ïðîäåëàòü àíàëîãè÷íóþ îïåðàöèþ ñ ïðîèçâåäåíèåì x−ν Jν (x), òî ïîëó-
÷åííàÿ ôîðìóëà è ôîðìóëà (55) äàþò ñëåäóþùóþ ïàðó äèôôåðåíöèàëüíûõ
ñîîòíîøåíèé:
          d ν                              d h −ν
            [x Jν (x)] = xν Jν−1 (x) ,        x Jν (x) = −x−ν Jν+1 (x) .       (56)
                                                      i

         dx                               dx
Âûïîëíèâ äèôôåðåíöèðîâàíèå è ðàçäåëèâ ïåðâîå è âòîðîå ðàâåíñòâà, ñîîò-
âåòñòâåííî, íà xν è x−ν , âûðàçèì ïðîèçâîäíóþ îò ôóíêöèè Áåññåëÿ
                             ν                                  ν
         Jν0 (x) = Jν−1 (x) − Jν (x) ,     Jν0 (x) = −Jν+1 (x) + Jν (x) .      (57)
                             x                                  x
Ñêëàäûâàÿ è âû÷èòàÿ ýòè ðàâåíñòâà, ïîëó÷èì äâà ñîîòíîøåíèÿ
                                                                 2ν
         2Jν0 (x) = Jν−1 (x)−Jν+1 (x) ,    Jν−1 (x)+Jν+1 (x) =      Jν (x) .   (58)
                                                                 x
Ïåðâîå èç íèõ ïîçâîëÿåò âûðàçèòü ïðîèçâîäíóþ îò ôóíêöèè Áåññåëÿ èíäåêñà
ν ÷åðåç ôóíêöèè èíäåêñîâ ν+1 è ν−1. Âòîðîå èç ðàâåíñòâ (58) ïðåäñòàâëÿåò
ñîáîé èñêîìîå ðåêóððåíòíîå ñîîòíîøåíèå.

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