Три лекции по теории функций Бесселя. Балакин А.Б. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

K
ν
(x) =
π
2 sin πν
[I
−ν
(x) − I
ν
(x)] .
K
ν
(x)
ν
K
−ν
(x) = K
ν
(x) I
ν
(x)
I
n
(x) = I
−n
(x)
ν = n
x
2
y
00
+ xy
0
+ (λ
2
x
2
− ν
2
)y = 0 ,
λ
2
x
2
y(x) = C
1
J
ν
(λx) + C
2
Y
ν
(λx) .
x
2
y
00
+ axy
0
+ (x
2
− ν
2
)y = 0 ,
a
y(x) = x
1−a
2
Z(x)
x
2
Z
00
+ xZ
0
+ (x
2
− µ
2
)y = 0
µ
2
≡ ν
2
+
1
4
(a − 1)
2
.
y(x) = x
1−a
2
[C
1
J
µ
(x) + C
2
Y
µ
(x)] .
                                 π
                     Kν (x) =         [I−ν (x) − Iν (x)] .          (44)
                             2 sin πν
Ôóíêöèè Kν (x) áîëåå èçâåñòíû êàê ôóíêöèè Ìàêäîíàëüäà; îíè íàøëè øè-
ðîêîå ïðèìåíåíèå â ñòàòèñòè÷åñêîé òåîðèè ðåëÿòèâèñòñêèõ ñèñòåì. Ôóíêöèè
Ìàêäîíàëüäà ÿâëÿþòñÿ ÷åòíûìè ôóíêöèÿìè èíäåêñà ν , ïîñêîëüêó èìååò ìå-
ñòî çàìå÷àòåëüíîå ñîîòíîøåíèå K−ν (x) = Kν (x). Ôóíêöèè Iν (x) îáëàäàþò
ïîäîáíîé ñèììåòðèåé: In (x) = I−n (x), íî òîëüêî ïðè öåëîì çíà÷åíèè èíäåêñà
ν = n.

 1.3. Çàìå÷àíèå î äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèÿõ, ñâîäÿùèõñÿ ê
                           óðàâíåíèÿì Áåññåëÿ

       Â ôèíàëå ïåðâîé ëåêöèè ñëåäóåò óïîìÿíóòü î òðåõ òèïàõ äèôôåðåíöè-
àëüíûõ óðàâíåíèé, êîòîðûå ñâîäÿòñÿ ê óðàâíåíèþ Áåññåëÿ çàìåíîé àðãóìåí-
òà, çàìåíîé ôóíêöèè èëè êîìáèíàöèåé ýòèõ äâóõ çàìåí.
1.3.1. Äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå

                       x2 y 00 + xy 0 + (λ2 x2 − ν 2 )y = 0 ,          (45)

îòëè÷àþùååñÿ îò (1) òîëüêî ìíîæèòåëåì λ2 ïåðåä x2 , èìååò îáùåå ðåøåíèå
âèäà
                       y(x) = C1 Jν (λx) + C2 Yν (λx) .                (46)
1.3.2. Äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå

                       x2 y 00 + axy 0 + (x2 − ν 2 )y = 0 ,            (47)

îòëè÷àþùååñÿ îò (1) òîëüêî ìíîæèòåëåì a ïåðåä ïðîèçâîäíîé ïåðâîãî ïî-
ðÿäêà, çàìåíîé
                                            1−a
                                y(x) = x     2    Z(x)                 (48)
ñâîäèòñÿ ê óðàâíåíèþ Áåññåëÿ

                        x2 Z 00 + xZ 0 + (x2 − µ2 )y = 0               (49)

ñ ïàðàìåòðîì
                                   1
                         µ2 ≡ ν 2 + (a − 1)2 .                         (50)
                                   4
Îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (47) ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå
                                1−a
                     y(x) = x    2    [C1 Jµ (x) + C2 Yµ (x)] .        (51)

                                          12

Страницы