Три лекции по теории функций Бесселя. Балакин А.Б. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

ν = 0
J
1
(x) = −J
0
0
(x) .
J
0
(x) =
∞
X
m=0
(−1)
m
x
2
2m
(m!)
2
ν=n+
1
2
J
n+
1
2
(x)
J
1
2
(x) J
−
1
2
(x)
J
3
2
(x) = −J
−
1
2
(x) +
1
x
J
1
2
(x) ,
J
5
2
(x) =
3
x
2
− 1
!
J
1
2
(x) −
3
x
J
−
1
2
(x) , ...
J
1
2
(x) J
−
1
2
(x)
J
n+
1
2
(x)
J
1
2
(x)
J
1
2
(x)=
∞
X
m=0
(−1)
m
x
2
2m+
1
2
Γ(m+1)Γ
3
2
+m
.
2
2m+1
Γ(m+1) Γ
3
2
+m
!
.
ðàçëîæåíèåì (67). Íàêîíåö, îòìåòèì, ÷òî âòîðîå èç ñîîòíîøåíèé (57) ïðè
ν = 0 äàåò âàæíîå ñëåäñòâèå:

                                     J1 (x) = −J00 (x) .              (69)

Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âñå ôóíêöèè Áåññåëÿ öåëîãî èíäåêñà ìîãóò áûòü ïðåäñòàâ-
ëåíû ñîîòíîøåíèåì òèïà (67) ñ ïîìîùüþ åäèíñòâåííîé ôóíêöèè íóëåâîãî
èíäåêñà                                               2m
                                             ∞        x
                                                    m 2
                                                                      (70)
                                             X
                                 J0 (x) =       (−1)
                                             m=0     (m!)2
è å¼ ïðîèçâîäíîé ïåðâîãî ïîðÿäêà.

          2.1.3. Ôóíêöèè Áåññåëÿ ïîëóöåëîãî èíäåêñà (ν=n+ 12 )

     Ñîãëàñíî ðåêóððåíòíîìó ñîîòíîøåíèþ (58) âñå ôóíêöèè Áåññåëÿ ïîëó-
öåëîãî èíäåêñà Jn+ 1 (x) ìîãóò áûòü ïðåäñòàâëåíû êàê ëèíåéíûå êîìáèíàöèè
                     2

äâóõ ôóíêöèé J (x) è J− 1 (x), â ÷àñòíîñòè,
                 1
                 2           2

                                                 1
                          J 32 (x) = −J− 21 (x) + J 12 (x) ,
                                                 x
                                   3               3
                                       !
                  J 52 (x) = 2 − 1 J 21 (x) − J− 21 (x) , ...         (71)
                                   x               x
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå ðåøåíèå (16), ñîãëàñíî êîòîðîìó
ôóíêöèè Áåññåëÿ J 1 (x) è J− 1 (x) ìîãóò áûòü âûðàæåíû ÷åðåç ýëåìåíòàðíûå
                  2              2

ôóíêöèè, ïîëó÷èì, ÷òî âñå Jn+ 1 (x) âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ýëåìåíòàðíûå ôóíê-
                                         2

öèè. Èìåííî ýòî çàìå÷àòåëüíîå ñâîéñòâî âûäåëÿåò ôóíêöèè Áåññåëÿ ïîëó-
öåëîãî èíäåêñà ñðåäè îñòàëüíûõ ôóíêöèé ýòîãî âèäà è ïðåäîñòàâëÿåò ÿâíóþ
âîçìîæíîñòü ïðîèëëþñòðèðîâàòü íà èõ ïðèìåðå âñå îñíîâíûå ñâîéñòâà ôóíê-
öèé Áåññåëÿ.
     Ôóíêöèÿ J 1 (x) ïðåäñòàâëÿåòñÿ ðÿäîì
                 2

                                                 2m+ 1
                                   ∞             x     2
                                           m     2
                                                                      (72)
                                   X
                         J 12 (x)=    (−1)           
                                                       3
                                                              .
                                   m=0       Γ(m+1)Γ   2 +m
Äëÿ òîãî, ÷òîáû îáíàðóæèòü â í¼ì ðàçëîæåíèå çíàêîìîé ýëåìåíòàðíîé ôóíê-
öèè, âû÷èñëèì îòäåëüíî âåëè÷èíó
                                                  3
                                                           !
                              2   2m+1
                                         Γ(m+1) Γ +m .                (73)
                                                  2
                                               17

Страницы