Три лекции по теории функций Бесселя. Балакин А.Б. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

ν=
1
2
n
J
n+
1
2
(x) = (−1)
n
v
u
u
t
2
π
x
n+
1
2
x
−1
d
dx
!
n
sin x
x
!
.
I
n+
1
2
(x) sin x
sinh x (−1)
n
K
n+
1
2
(x) = (−1)
n
s
π
2
x
n+
1
2
x
−1
d
dx
!
n
e
−x
x
±
1
2
x = 0
J
1
2
(0) = 0 , Y
−
1
2
(0) = 0 , I
1
2
(0) = 0 ,
±
1
2
x → ∞ I
1
2
(x) I
−
1
2
(x)
x → ∞
n+
1
2
±
1
2
H
(1)
±
1
2
(x) H
(2)
±
1
2
(x)
I
±
1
2
(x) K
±
1
2
(x)
x > 0
J
1
2
(πk)=0 , Y
−
1
2
(πk)=0 , J
−
1
2
π
2
+πk
!
=0 , Y
1
2
π
2
+πk
!
=0 .
x > 0 J
±
1
2
(x) Y
±
1
2
(x)
Âòîðîå äèôôåðåíöèàëüíîå ñîîòíîøåíèå â (59) ïðè ν= 12 ïîçâîëÿþò ÿâíî ïðåä-
ñòàâèòü ôóíêöèè Áåññåëÿ ïåðâîãî ðîäà ïîëóöåëîãî èíäåêñà ñ ïîìîùüþ n-
êðàòíîé ïðîèçâîäíîé îò ýëåìåíòàðíîé ôóíêöèè
                                            v
                                                                               !n
                                           nt 2                            d          sin x
                                            u                                                  !
                                                        n+ 21    −1
                                                                                                           (82)
                                            u
                     Jn+ 21 (x) = (−1)              x           x                           .
                                              π                           dx            x
Äëÿ àíàëîãè÷íîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ôóíêöèè In+ 1 (x) ñëåäóåò sin x çàìåíèòü íà
                                                                          2

sinh x è èñêëþ÷èòü ìíîæèòåëü (−1) . Ôîðìóëà         n

                                                                                !n  −x 
                                                  π n+ 1 −1 d                        e 
                                              s
                     Kn+ 21 (x) = (−1)n             x 2 x                                                 (83)
                                                  2        dx                              x
ïîçâîëÿåò ïðåäñòàâèòü ôóíêöèè Ìàêäîíàëüäà ïîëóöåëîãî èíäåêñà.
(i) Ïîâåäåíèå ôóíêöèé Áåññåëÿ èíäåêñà ± 12 â íóëå
Ïðè x = 0 â íóëü îáðàùàþòñÿ òðè èç ïåðå÷èñëåííûõ ôóíêöèè Áåññåëÿ:

                          J 12 (0) = 0 ,    Y− 12 (0) = 0 ,               I 21 (0) = 0 ,                   (84)

îñòàëüíûå ïðèíèìàþò íåîãðàíè÷åííûå çíà÷åíèÿ.
(ii) Àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå ôóíêöèé Áåññåëÿ èíäåêñà ± 12
Ïðè x → ∞ òîëüêî äâå ôóíêöèè I 1 (x) è I− 1 (x) íåîãðàíè÷åííî âîçðàñòà-
                                                        2                 2

þò, îñòàëüíûå àñèìïòîòè÷åñêè ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ. Ïîñêîëüêó äëÿ ôóíêöèé
Áåññåëÿ ïîëóöåëîãî èíäåêñà ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå, àíàëîãè÷íîå (67), òî
ïðè x → ∞ â íóëü àñèìïòîòè÷åñêè îáðàùàþòñÿ ôóíêöèè Áåññåëÿ ïåðâîãî,
âòîðîãî, òðåòüåãî ðîäà è ôóíêöèè Ìàêäîíàëüäà ñ ïðîèçâîëüíûì ïîëóöåëûì
èíäåêñîì n+ 21 .
(iii) Î êîðíÿõ ôóíêöèé Áåññåëÿ èíäåêñà ± 12
                                                (1)                 (2)
Ôóíêöèè Áåññåëÿ òðåòüåãî ðîäà H± 1 (x), H± 1 (x) è ôóíêöèè ìíèìîãî àðãó-
                                                    2                2
ìåíòà I± 1 (x), K± 1 (x) íå îáðàùàþòñÿ â íóëü íà ïîëîæèòåëüíîé ÷àñòè äåé-
         2            2

ñòâèòåëüíîé îñè x > 0. Â ýòîé îáëàñòè êîðíè èìåþòñÿ òîëüêî ó ôóíêöèé
Áåññåëÿ ïåðâîãî è âòîðîãî ðîäà:
                                                            π                              π
                                                                 !                                 !
     J 12 (πk)=0 ,     Y− 12 (πk)=0 ,       J− 21             +πk =0 ,              Y 21     +πk =0 .      (85)
                                                            2                              2
Òàêèì îáðàçîì, íà èíòåðâàëå x > 0 ôóíêöèè Áåññåëÿ J± 1 (x) è Y± 1 (x) ÿâëÿ-
                                                                                               2       2

þòñÿ êâàçèïåðèîäè÷åñêèìè ñ áåñêîíå÷íûì ÷èñëîì ýêâèäèñòàíòíî ðàñïðåäå-
ëåííûõ íóëåé è áåñêîíå÷íûì ÷èñëîì ýêñòðåìóìîâ.  ÷àñòíîñòè, ìàêñèìóìû

                                                        19

Страницы