Три лекции по теории функций Бесселя. Балакин А.Б. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

k
J
1
2
π
2
+2πk
!
=
2
π
√
4k+1
, J
−
1
2
(2πk) =
1
π
√
k
,
<(x, t)
n J
n
(x)
<(x, t) t
<(x, t) =
∞
X
n=−∞
J
n
(x) t
n
= J
0
(x) +
∞
X
n=1
J
n
(x)
h
t
n
+ (−1)
n
t
−n
i
.
<(x, t) =
∞
X
n=−∞
∞
X
m=0
(−1)
m
x
2
2m+n
t
n
m!(m + n)!
k=m+n
<(x, t) =
∞
X
k=0
xt
2
k
k!
∞
X
m=0
(−1)
m
x
2t
m
m!
= e
xt
2
· e
−
x
2t
.
<(x, t) = exp
"
x
2
t −
1
t
!#
.
t = e
iϕ
e
ix sin ϕ
=
∞
X
n=−∞
J
n
(x) e
inϕ
,
ôóíêöèé Áåññåëÿ ïåðâîãî ðîäà êàê ôóíêöèè ïîðÿäêîâîãî íîìåðà êîðíÿ k
îïèñûâàþòñÿ ôîðìóëàìè
                    π             2                   1
                               !
               J 21   +2πk = √        , J− 12 (2πk) = √ ,           (86)
                    2         π 4k+1                 π k
îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî âûñîòà ýòèõ ìàêñèìóìîâ óìåíüøàåòñÿ ñ óâåëè÷åíèåì ïî-
ðÿäêîâîãî íîìåðà ýêñòðåìóìà.

 2.2. Ïðåäñòàâëåíèå ôóíêöèé Áåññåëÿ öåëîãî èíäåêñà ñ ïîìîùüþ
                              ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè

      Ôóíêöèÿ <(x, t) íàçûâàåòñÿ ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèåé äëÿ ôóíêöèé Áåñ-
ñåëÿ ïåðâîãî ðîäà öåëîãî èíäåêñà n, åñëè Jn (x) ÿâëÿþòñÿ êîýôôèöèåíòàìè
ðàçëîæåíèÿ ôóíêöèè <(x, t) ïî ñòåïåíÿì t:
                      ∞                                 ∞
                            Jn (x) tn = J0 (x) +             Jn (x) tn + (−1)n t−n .          (87)
                      X                                 X               h                 i
         <(x, t) =
                     n=−∞                              n=1

Íàéòè ïðîèçâîäÿùóþ ôóíêöèþ â ÿâíîì âèäå ïîìîãàþò ñëåäóþùèå ðàññóæ-
äåíèÿ. Ïîäñòàâèì ðàçëîæåíèå (25) â ôîðìóëó (87)
                                                          2m+n
                                                          x
                                       ∞    ∞                    tn
                                                        m 2
                                                                                              (88)
                                       X    X
                      <(x, t) =                  (−1)
                                      n=−∞ m=0            m!(m + n)!
è ñäåëàåì çàìåíó èíäåêñà ñóììèðîâàíèÿ k=m+n. Òîãäà äâîéíàÿ ñóììà â
(88) ïðåäñòàâëÿåòñÿ ïðîèçâåäåíèåì äâóõ ñóìì, êàæäàÿ èç êîòîðûõ çàäàåò
ýêñïîíåíòó:
                                     xt k
                                                 m 
                            ∞                ∞        x
                                                                            xt      x
                          X         2              m 2t
                                                                        = e 2 · e− 2t .       (89)
                                             X
              <(x, t) =   
                                          
                                              (−1)       
                           k=0       k!     m=0       m!
 ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì õîðîøî èçâåñòíóþ ïðîèçâîäÿùóþ ôóíêöèþ äëÿ ôóíê-
öèé Áåññåëÿ ïåðâîãî ðîäà
                                            x    1
                                                 "             !#
                              <(x, t) = exp   t−                    .                         (90)
                                            2    t
Êàê ÷àñòíûé ñëó÷àé ïðè t = eiϕ èç (87) è (90) ïîëó÷àåòñÿ ôîðìóëà ðàçëîæå-
íèÿ
                                             ∞
                              eix sin ϕ =            Jn (x) einϕ ,                            (91)
                                             X

                                            n=−∞
êîòîðàÿ øèðîêî èñïîëüçóåòñÿ â ôèçè÷åñêèõ ïðèëîæåíèÿõ, íàïðèìåð, â òåî-
ðèè ìàãíèòîàêòèâíîé ïëàçìû.

                                              20

Страницы