Три лекции по теории функций Бесселя. Балакин А.Б. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

ν=n
J
n
(x) =
1
2πi
Z
C
dt
t
n+1
<(x, t) =
1
2πi
Z
C
dt
t
n+1
exp
"
x
2
t−
1
t
!#
,
C t = 0
t
t = e
iθ
, |t| = 1 ,
dt
it
= dθ ,
J
n
(x)=
1
2π
π
Z
−π
dθ exp{i [x sin θ−nθ]}.
J
n
(x)=
1
π
π
Z
0
dθ cos (x sin θ−nθ) .
ν
J
ν
(x) =
1
π
π
Z
0
dθ cos (x sin θ−νθ)
J
ν
(x)
         2.3. Èíòåãðàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ ôóíêöèé Áåññåëÿ

    2.3.1. Èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå, ââåäåííîå Áåññåëåì äëÿ
                      ôóíêöèé öåëîãî èíäåêñà ν=n

     Ôîðìóëà Êîøè, ïîëó÷åííàÿ â êóðñå òåîðèè ôóíêöèé êîìïëåêñíîé ïåðå-
ìåííîé, ïîçâîëÿåò íàéòè êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ (87) â âèäå êîíòóðíîãî
èíòåãðàëà
                      1 Z dt               1 Z dt        x    1
                                                             "    !#
            Jn (x) =            <(x, t) =            exp   t−          ,   (92)
                     2πi C tn+1           2πi C tn+1     2    t

ãäå çàìêíóòûé æîðäàíîâ êîíòóð C îõâàòûâàåò òî÷êó t = 0 íà êîìïëåêñíîé
ïëîñêîñòè t. Äëÿ ôóíêöèé Áåññåëÿ öåëîãî èíäåêñà ýòîò êîíòóð ìîæåò áûòü
âûáðàí â âèäå îêðóæíîñòè åäèíè÷íîãî ðàäèóñà (äåòàëè äîêàçàòåëüñòâà ìîæ-
íî íàéòè, íàïðèìåð, â [1]). Ïîëàãàÿ â ýòîì ñëó÷àå
                                                 dt
                         t = eiθ ,   |t| = 1 ,      = dθ ,                 (93)
                                                 it
ïîëó÷àåì ïåðâîå èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå

                               1 Zπ
                      Jn (x)=       dθ exp{i [x sin θ−nθ]} .               (94)
                              2π −π

 ñèëó ñèììåòðè÷íîñòè ïðåäåëîâ èíòåãðèðîâàíèÿ ìíèìàÿ ÷àñòü äàííîãî èí-
òåãðàëà îáðàùàåòñÿ â íóëü, è ìû ïîëó÷àåì èíòåãðàëüíóþ ôîðìóëó Áåññåëÿ
(Bessel, 1824)
                                1 Zπ
                        Jn (x)=      dθ cos (x sin θ−nθ) .                 (95)
                                π0
Äëÿ íåöåëûõ çíà÷åíèé ν èíòåãðàë

                                 1 Zπ
                        Jν (x) =      dθ cos (x sin θ−νθ)                  (96)
                                 π0

çàäàåò ôóíêöèþ Àíãåðà-Âåáåðà, êîòîðàÿ â îáùåì ñëó÷àå íå ñîâïàäàåò ñ ôóíê-
öèåé Áåññåëÿ Jν (x), è äëÿ îïèñàíèÿ ïîñëåäíåé íåîáõîäèìî ïîëüçîâàòüñÿ èí-
òåãðàëüíûì ïðåäñòàâëåíèåì Ïóàññîíà (Poisson, 1823).




                                         21

Страницы